高二数学人教A版选修45学业分层测评4Word版含答案

学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有()A．|a|＞|b|＞|c|B．|ab|＞|bc|C．|a＋b|＞|b＋c|D.|a－c|＞|a－b|【解析】当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.【答案】D2．已知|a|≠|b|，m＝|a|－|b||a－b|，n＝|a|＋|b||a＋b|，则m，n之间的大小关系为()A．mnB．mnC．m＝nD.m≤n【解析】由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得|a|－|b||a－b|≤1，|a|＋|b||a＋b|≥1.【答案】D3．已知a，b∈R，ab0，则下列不等式中不正确．．．的是()A．|a＋b|＞a－bB．2ab≤|a＋b|C．|a＋b||a|＋|b|D.ba＋ab≥2【解析】当ab0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．【答案】C4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()A．|a|＜|b|＋|c|B．|c|＜|a|＋|b|C．b＞||c|－|a||D.b＜||a|－|c||【解析】b＞|a－c|＞|a|－|c|，b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，∴b＞||a|－|c||，故C成立．应选D(此题代入数字也可判出)．【答案】D5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()【导学号：32750020】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－a|＋|y－a|＜2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．【答案】A二、填空题6．设a，b∈R，|a－b|2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|2的解集是________．【解析】因为a，b∈R，则|a－b|2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.【答案】R7．下列四个不等式：①logx10＋lgx≥2(x＞1)；②|a－b|＜|a|＋|b|；③ba＋ab≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．【解析】logx10＋lgx＝1lgx＋lgx≥2，①正确．ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；∵ab≠0，ba与ab同号，∴ba＋ab＝ba＋ab≥2，③正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确．综上，①③④正确．【答案】①③④8．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|5；③|α|22，|β|22.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．【解析】①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|425.【答案】①③⇒②三、解答题9．设ε0，|x－a|ε4，|y－b|ε6.求证：|2x＋3y－2a－3b|ε.【证明】∵|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤2|x－a|＋3|y－b|2×ε4＋3×ε6＝ε.10．设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)5，求a的取值范围．【解】(1)证明：由a0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－x－a＝1a＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)5，得3a5＋212.当0a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)5，得1＋52a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.[能力提升]1．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1B．2C．3D.4【解析】∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.【答案】C2．以下三个命题：(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；(3)若|x|＜2，|y|＞3，则xy＜23.其中正确的有________个．【解析】(1)1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴1＋|b|＞|a|成立，(1)正确；(2)|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|a＋b－2a|＝|a－b|正确；(3)xy＝|x||y|＜2|y|＜23，正确．【答案】33．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.【导学号：32750021】【解析】|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.【答案】－2≤a≤44．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是____________．【解析】∵－4＜b＜2，则0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.又∵1＜a＜8，∴－3＜a－|b|＜8.【答案】(－3,8)5．设a＞0，|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，求证：|2x＋y－4|＜a.【证明】因为|x－1|＜a3，|y－2|＜a3，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×a3＋a3＝a.