高二数学精品教案211随机变量选修23

随机变量及其分布§2.1随机变量一、概念对于随机试验：E甲,乙两人同时向某目标射击一次中靶情况,,BABAABBA,E:},,,{ABBABABAS，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。二、分类1、离散型随机变量2、非离散型随机变量§2.2离散型随机变量一离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:,,,21xx取这些值的概率为P(X=xi)=pi,i=1,2,...(2.1)称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:X1x2x…ix…P1p2p…ip…上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：iipppxxx2121离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质（1）pi0,i=1,2,...（2）1iip常见的几种分布1、单点分布例:若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）2、0-1分布例:若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为X01Pqp0p1,q=1-p，或记为P(kX)=pkq1-k,k=0,1则称X服从参数为p的两点分布或参数为p的0-1分布。3、几何分布例:一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p1),不中的概率为q=1-p.今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X是一个离散型随机变量，其分布为X123…k…Ppqpq2p…qk-1p…或记为P(kX)=pqk1,k=1,2,...则称X服从参数为p的几何分布。4、超几何分布例:设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为nNmnMNmMCCCmXP)(,m=0,1…,k,k=min(M,n)则称X服从超几何分布。(二）二项分布在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为P(X=k)=knkknqpC,k=0,1,2,,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为),(~pnBX。例2:P39.例3:P40.在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？泊松分布1．定义若离散型随机变量X的分布为ekkXPk!)(，k=0,1,2,其中常数0，则称X服从参数为的泊松分布,记为)(~X。2．泊松Poisson定理P41,设有一列二项分布Xn～B(npn,),n=1,2,...,如果nnnplim,为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有ekppCkXPkknnknknnnn!)1(limlim证略。例5:P43.例6:P44,自学。§2.3随机变量的分布函数一、概念定义2.1设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数x,令)()(xXPxF(2.11)则称F（x）为X的分布函数。例1:（书上例2.8）设X服从参数为p的（0-1）分布，即：kqpkXPk1)(,k=0,1,其中0p1,q=1-p.求X的分布函数F(x).例:设R.V.X的分布函数为31318.0114.010)(xxxxxF求X的概率分布。二、性质性质1若x1x2,则F(x1)F(x2).即F(x)是x的单调不减函数。性质2对任意的实数x，均有0F(x)1(2.15)且0)(limxFx(2.16)1)(limxFx(2.17)性质3对任意的实数x0,有)()(0lim0xFxFxx(2.18)即F(x)在x轴上处处右连续。证明见P-44.性质4若F(x)在X=x0处连续，则P(X=x0)=0性质5P(aXb)=F(b)-F(a)例:设R.V.X的分布为0,00,)(3xxeAxFx确定A,且求P(-1x2)§2.4连续型随机变量一、定义2.2设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使对任意的实数x，均有F(x)=xdttf)((2.20)则称X是连续型随机变量，称f(x)是X的概率密度或密度函数，简称密度。二、图形例如：正态分布密度函数222)(21)(xexf图形：datanormal;doi=-3to3by0.01;z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));output;end;run;procgplotdata=normal;plotz0*i=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;分布函数dtexFtx222)(21)(图形：datanormal;dox=-3to5by0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;procgplotdata=normal;ploty*x=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;三、性质性质1f(x)0(2.21)性质21)()(Fdxxf(2.22)性质3P(aXb)=F(b)-F(a)=badxxf)((2.23)性质4在f(x)的连续点x处，有)(xf=)(xF(2.24)性质5在f(x)的连续点x处，当x0,且很小时，有P(xX)=x+xxxxxxfdttf)()(几点说明：1．由5可以看出f(x)值的大（小）反映R.V.X在x邻域概率的大（小）。2．连续型随机变量X取任一点x0的概率为零。即：P(X=x0)=0。3．连续型随机变量X的密度函数为f(x),则它取值于区间（a,b）、（a,b]、[a,b）、[a,b]上的概率都相等，即)()()()(bXaPbXaPbxaPbXaPabdxxfaFbF)()()(同理，adxxfaFaXPaXPaXP)(1)(1)(1)()(。4．连续型R.V.X的F(x)是连续函数。但f(x)不一定是连续的。例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度0,00,3)(xxxKexf确定常数K,并求P{X0.1}指数分布：0,00,/1)(xxxexf例：(第一版)设R.V.0013110)(~xAexxxfXx(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(x);(3)P21X。例：(第一版)已知随机变量0,210,21)(~xeBxeAxFXxx（1）确定A和B；（2）求)(xf；(3)求)21(XP二、均匀分布例：设R.V.其它,0,)(~bxakxfX，称X在[a,b]上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(X+s)(a+sb)。(3)写出X的分布函数F(x)。定义：若随机变量X的概率密度为其他01)(bxaabxf则称X在[ba,]上服从均匀分布，记为X～U[a,b]*,相应的分布函数为xbbxaabaxaxxF10)(一般地，设D是轴上一些不相交的区间之和，若X的概率密度为DxDDxf01)(的长度则称X在D上服从均匀分布。如果],[~baUX，则对于满足bdca的任意的dc,,有dxabdXcPdc1)(=)(1cdab(2.32)三、指数分布若随机变量X的概率密度为000)(xxexfx（2.33）其中常数0，则称X服从参数为的指数分布，相应的分布函数为0001)(xxexFx(2.34)例：（第一版书上例2.12）经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的th内损坏的概率为)(0tt，其中是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略四、正态分布1、定义：若随机变量X的概率密度为222)(21)(xexf,x(2.35)其中,都为常数且0，则称X服从参数为,的正态分布，记为),(~2NX，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为dtexFtx222)(21)(（2.36）2、验证dtetxdxeFtx22)(2222121)(令12212122dtet3、作出)(xf的图形010)(21)('222)(3xexxf，得驻点x，0201)(21)(''222)(223xexxf得0x，03limx0)(xf作图SAS程序：datanormal;doi=-3to3by0.01;z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));output;end;run;procgplotdata=normal;plotz0*i=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。datanormal;retain_seed_0;do_i_=1to1000;z=0+1*rannor(_seed_);output;end;drop_seed_;run;procgplotdata=normal;plotz*_i_=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;4、性质：（1）f(x)的图形是关于直线x=对称的曲线（2）21)(f为最大值，当x远离时，f(x)0（3）当固定而变化时对图形的影响，小)(xf大，分布曲线在x形成陡峭的高峰。大)(xf小，分布曲线在x变成缓峰。=2,=0.5,1,2datanormal;doi=-2to6by0.01;z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));output;end;procgplotdata=normal;plotz0*i=1z1*i=1z2*i=1/overlay;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;=2,=0.5,1,2,5,10图形：datanormal;doi=-5to9by0.01;z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*(3.1415926)));z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*(3.1415926)));output;end;run;procgplotdata=normal;plotz0*i=1z1*i=1z2*i=1z3*i=1z4*i=1/overlay;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;（4）当固定而当变化时对图形的影响是分布曲