高二数学人教版选修45教案第09课时不等式的证明方法之综合法与分析法

课题：第09课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，ABBA222是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题：例1、ba,都是正数。求证：.2abba证明：由重要不等式ABBA222可得.22abbaabba本例的证明是综合法。例2、设0,0ba，求证.2233abbaba证法一分析法要证2233abbaba成立.只需证)())((22baabbababa成立，又因0ba，只需证abbaba22成立，又需证0222baba成立，即需证0)(2ba成立.而0)(2ba显然成立.由此命题得证。证法二综合法两边同时加上ab得)()(mbamab两边同时除以正数)(mbb得（1）。读一读：如果用QP或PQ表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是（1）).4()3()2(而采用综合法的证法二就是).1()2()3()4(如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有PQQP,，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为.QP在例2中，由于mbmb,,都是正数，实际上).4()3()2()1(例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为2L，截面积为22L；周长为L的正方形为4L，截面积为24L。所以本题只需证明2242LL。证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为22L，截面是正方形的水管的截面面积为24L。只需证明：2242LL。为了证明上式成立，只需证明164222LL。两边同乘以正数24L，得：411。因此，只需证明4。上式显然成立，所以2242LL。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例5、证明：cabcabcba222。证法一因为abba222（2）bccb222（3）caac222（4）所以三式相加得)(2)(2222cabcabcba（5）两边同时除以2即得（1）。证法二因为,0)(21)(21)(21)(222222accbbacabcabcba所以（1）成立。例6、证明：.)())((22222bdacdcba（1）证明（1）0)())((22222bdacdcba（2）0)2(222222222222dbabcdcadbdacbca（3）022222abcddacb（4）0)(2adbc（5）（5）显然成立。因此（1）成立。例7、已知cba,,都是正数，求证.3333abccba并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式))((3222333cabcabcbacbaabccba着手。证明：abccba3333=))((222cabcabcbacba=].)()())[((21222accbbacba由于cba,,都是正数，所以.0cba而0)()()(222accbba，可知03333abccba即abccba3333（等号在cba时成立）探究：如果将不等式abccba3333中的333,,cba分别用cba,,来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(accbba，其中cba,,是互不相等的正数，且1abc.三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习：1、已知,0x求证：.21xx2、已知,,0,0yxyx求证.411yxyx五、作业：