高二数学人教版选修45教案第11课时不等式的证明方法之放缩法与贝努利不等式

课题：第11课时不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例1、若n是自然数，求证.213121112222n证明：.,,4,3,2,111)1(112nkkkkkknnn)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11nn=.212n注意：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例2、求证：.332113211211111n证明：由,212221132111kk（k是大于2的自然数）得n32113211211111.3213211211121212121111132nnn例3、若a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa证：记m=caddbdccacbbdbaa三、小结：四、练习：1、设n为大于1的自然数，求证.2121312111nnnn2、设n为自然数，求证.!1)122()52)(32)(12(nnnnnn五、作业：A组1、对于任何实数x，求证：（1）4312xx；（2）.41112xx2、设ba，求证：（1）)(2322babba；（2）).(46224224baabbbaa3、证明不等式3344abbaba.4、若cba,,都是正数，求证：.)())((2222333cbacbacba5、若,0cba求证.222bacacbcbacbacba6、如果ba,同号，且均不为0.求证：2abba，并指出等号成立的条件.7、设cba,,是互不相等的正数，求证：.3ccbabbacaacb8、已知三个正数cba,,的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9.9、若20，则2cossin1.10、设Ryx,，且,1yx求证：.9)11)(11(yx11、已知0x，求证：（1）11122xx；（2）22322xx.12、设ba,是互不相等的正数，求证：.81122babaabbaab13、已知ba,都是正数，求证：（1）;9)1)(1(22abbaba（2）.9))((222222babaabbaba14、已知,1,1222222zyxcba求证：.1czbyax15、已知,1,12222yxba求证：.1byax16、已知dcba,,,都是正数，且有2222,dcybax求证：))((bcadbdacxy17、已知naaaa,,,321都是正数，且1321naaaa，求证：nnaaaa2)1()1)(1)(1(32118、设ABC的三条边为,,,cba求证)(2222cabcabcbacabcab.19、已知yxba,,,都是正数，设.,,1aybxvbyaxuba求证：.xyuv20、设n是自然数，利用放缩法证明不等式.231312111nnnn21、若n是大于1的自然数，试证.11131211121222nnnB组22、已知zyxcba,,,,,都是正数，且,czbyax求证：.czcbazyxax23、设0ba，试用反证法证明bxabxasinsin不能介于baba与baba之间。24、若n是自然数，求证.4713121112222n链接：放缩法与贝努利不等式在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式edcba里ed和都是正数，可以舍掉ed和，从而得到一个明显成立的不等式cbaedcba.例如，对于任何0x和任何正整数n，由牛顿二项式定理可得.321)2)(1(21)1(1)1(22nnxxnnnxnnnxx舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式：nxxn1)1(.在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当n是正整数的时候成立，而且当n是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1x，则在1或0时，xx1)1(，在10时，.1)1(xx阅读材料：贝努利家族小史在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布•贝努利（JacobBernoulli，1654.12-1705.8）、约翰•贝努利（JohannBernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（DanialBernoulli，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿子）最为著名。