高二数学人教版选修45教案第12课时几个著名的不等式之柯西不等式

课题：第12课时几个著名的不等式之一：柯西不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,,,均为实数，则22222)())((bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ba,），B（dc,），那么它们的数量积为bdac，而22||ba，22||dc，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于1的自然数，iiba,（i1，2，…，n）为任意实数，则：211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，…，n）。证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf即构造了一个二次函数：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意实数x，0)(xf恒成立，则其0，即：0))((4)(4121221niiniiniiibaba，即：))(()(121221niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，即等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，…，n）。如果ia（ni1）全为0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式1设),,,2,1(0,nibiRaiiiniiibaba212)(，等号成立当且仅当)1(niabii变式2设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：iiiniiibaaba21)(，等号成立当且仅当nbbb21。二、典型例题：例1、已知122ba，122yx，求证：1||byax。例2、设Rdcba,,,，求证：222222)()(dbcadcba。例3、设,,为平面上的向量，则||||||。例4、已知cba,,均为正数，且1cba，求证：9111cba。方法1：方法2：（应用柯西不等式）例5：已知1a，2a，…，na为实数，求证：2112)(1niiniiana。分析：推论：在n个实数1a，2a，…，na的和为定值为S时，它们的平方和不小于21Sn，当且仅当naaa21时，平方和取最小值21Sn。三、小结：四、练习：1、设x1，x2，…，xn0,则1111nxxxniiniii2、设Rxi（i=1，2，…，n）且111niiixx求证:njijiniixxx112．3、设a为实常数,试求函数)cos(sin)(xaxxf(x∈R)的最大值．4、求函数xbxaxfcossin)(在)2,0(上的最大值,其中a，b为正常数．五、作业：1、已知：122ba，222nm,证明：22bnam。提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。2、若Rzyx,,，且zyx=a，222zyx=221a)0(a，求证：zyx,,都是不大于a32的非负实数。证明：由yxaz代入222zyx=221a可得021)()(22222ayaxyax∵Rx∴△≥0即021)(8)(42222ayayya化简可得：0232ayy∵0a∴ay320同理可得：ax320，az320由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求z9y1x4的最小值。5、设x，y，zR，求222zy2xzyx2的最大值。7、设三个正实数a,b,c满足)(2)(4442222cbacba，求证：a，b，c一定是某三角形的三边长。8、求证)3(nn个正实数a1，a2，…，an满足))(1()(44241222221nnaaanaaa9、已知Rzyx,,,且12xx:1222222zzyyxx。10、设Rzyx,,,:1222222222xyyxzzxxzyyzzyx。11、设Rzyx,,,且x+2y+3z=36,求zyx321的最小值．