高二数学人教版选修45教案第14课时几个著名的不等式之平均不等式

课题：第14课时几个著名的不等式之三：平均不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：1、定理1：如果Rba,，那么abba222（当且仅当ba时取“=”）证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221．指出定理适用范围：Rba,强调取“=”的条件ba。2、定理2：如果ba,是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”）证明：∵abba2)()(22∴abba2即：abba2当且仅当ba时abba2注意：1．这个定理适用的范围：Ra；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3、定理3：如果Rcba,,，那么abccba3333（当且仅当cba时取“=”）证明：∵abcabbacbaabccba333)(32233333)(3])())[((22cbaabccbabacba]32)[(222abcbcacbabacba))((222cabcabcbacba])()())[((21222accbbacba∵Rcba,,∴上式≥0从而abccba3333指出：这里Rcba,,∵0cba就不能保证。推论：如果Rcba,,，那么33abccba。（当且仅当cba时取“=”）证明：3333333333)()()(cbacbaabDBOAC33abccba33abccba4、算术—几何平均不等式：①．如果NnnRaaan且1,,,,21则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数，nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数；②．基本不等式：naaan21≥nnaaa21（niRaNni1,,*）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。③．abba2的几何解释：以ba为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB则abCBCACD2，从而abCD，而半径abCDba2。二、典型例题：例1、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222。证：∵abba222bccb222caac222以上三式相加：cabcabcba222)(2222∴cabcabcba222例2、设cba,,为正数，求证：abccbcacabbaab16))(1(2。三、小结：四、练习：五、作业：1、若Rbaba,,1求证225)1()1(22bbaa证：由幂平均不等式：2)11()1()1(222bbaabbaa2252)23(2)3(2)1(222baabbbaaba