高二数学教案第三章空间向量与立体几何3206立体几何中的向量方法求空间距离1人教

课题：立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】课时：06课型：新授课教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．（1）点到平面的距离：1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度；2．还可以用等积法求距离；3．向量法求点到平面的距离.在PAORt中，sin||||sinAPdAPd又||||||sinnAPnAP||||nnAPd（其中AP为斜向量，n为法向量）例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．解：如图，设CD4i，CB4j，CG2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴(2,0,0)BE，(4,2,0)BF，(0,4,2)BG，(2,4,2)GE，OPnAdOPnAdl(2,2,0)EF．设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BMaBEbBFcBG(1)abc，∴(2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BMabc＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由BM平面EFG，得BMGE，BMEF，于是0BMGE，0BMEF．∴(24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01abbccabbccabc整理得：102305cbacbaca，解得1511711311abc．∴BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝)116,112,112(．∴222226211||11111111BM故点B到平面EFG的距离为11112．说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2：如图，在正方体1111DCBAABCD中，棱长为1，为11DC的中点，求下列问题：（1）求1B到面BEA1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyzD，则),1,1,0(),0,21,1(11BAEA，设),,(zyxn为面BEA1的法向量ABCD1A1B1C1DEyzx则00210011zyyxBAnEAn取1x，得2,2zy，)2,2,1(n选点1B到面BEA1的斜向量为)0,1,0(11BA得点1B到面BEA1的距离为32||||11nnBAd课后练习：1．如图在直三棱柱111CBAABC中，1BCAC,90ACB，21AA，求点1B到面BCA1的距离.2.在三棱锥ABCS中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，黄肌瘦32SCSA，M、N分别为AB、SB的中点,求点到平面CMN的距离.ABCD1A1B1C1DEyzxB1A1BC1AC教学反思:SABCNMO