高二数学教案第二章圆锥曲线与方程2305椭圆中焦点三角形的性质及应用人教A版选修2

课题：椭圆中焦点三角形的性质及应用（实验班）课时：05课型：新授课教学目标：理解并掌握焦点三角形在椭圆中的作用，并能利用数形结合的思想解决解析问题教学重点：焦点三角形的结论与推广新课教学：1.焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。性质一：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF。cos2)2(2122212212PFPFPFPFFFc)cos1(2)(21221PFPFPFPFcos12)cos1(244)cos1(24)(222222121bcacPFPFPFPF1222121sinsintan21cos2FPFbSPFPFb性质二：已知椭圆方程为),0(12222babyax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设),(ooyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1在21PFF中，2122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF1))((24124422122ooexaexabPFPFca=122222oxeabaxa022axo性质三：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.21cos2e证明：设,,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：1222242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr.2112221)2(222222222122eacarrca命题得证。高考题型：已知椭圆)0(12222babyax的两焦点分别为,,21FF若椭圆上存在一点,P使得,120021PFF求椭圆的离心率的取值范围。简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos20e即22121e,于是得到的取值范围是.1,23性质四：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形21FPF，,,1221FPFFPF则椭圆的离心率sinsin)sin(e。,,1221FPFFPF由正弦定理得：sinsin)180sin(1221PFPFFFo由等比定理得：sinsin)sin(2121PFPFFF而)sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF∴sinsin)sin(ace。应用举例：已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝3∴椭圆的方程为3422yx＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ椭圆的离心率21e则)60sin(23sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，整理得：5sinθ＝3(1＋cosθ)∴53cos1sin故532tan，tanF1PF2＝tanθ＝11352531532课后巩固练习：1、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22B.212C.22D.212、已知点P在椭圆1204022yx上，21,FF是椭圆的两个焦点，21PFF是直角三角形，则这样的点P有A2个B4个C6个D8个3、椭圆192522yx的焦点1F、2F，P为椭圆上的一点，已知21PFPF，则△21PFF的面积为__________.答案提示：1.D2、A3、9