高二数学精品教案112基本计数原理和排列组合选修23

一.本周教学内容：选修2—3基本计数原理和排列组合二.教学目标和要求1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。2.理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。3.让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。三.重点和难点重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题四.知识要点解析[来源:]1.两个基本计数原理（1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法……做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法说明：（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。如果完成一件事情有n类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理（3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏2.排列问题（1）排列的定义：一般的，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列说明：①定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”②一个排列就是完成一件事情的一种方法③不同的排列就是完成一件事情的不同方法④两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同⑤从n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，记作nnA（2）排列数的定义：从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的排列数。用符号mnA（3）排列数公式：!)!(!)1()2)(1(mmnnmnnnnAmn!nAnn（读作n的阶乘），0！＝1说明：①nmNmn且,,②公式右边是m个从大到小的连续正整数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1③n的阶乘是正整数n到1的连乘积3.组合问题（1）组合的定义：一般地，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：①如果两个组合中元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合②当两个组合中元素不完全相同，就是不同的组合③排列和组合的区别：排列和顺序有关，而组合和顺序无关（2）组合数定义：从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的组合数。用符号mnC（3）组合数公式：1),,()!(!!)1()2)(1(0nnnmnCCnmNnmmnnmmnnnnC且（4）组合数的两个性质：①mnnmnCC②11mnmnmnCCC4.排列和组合的关系：（1）二者区别的关键：是否和顺序有关（2）二者的联系：mmmnmnACA5.解决站队和组数的常用方法：（1）特殊位置（或元素）优先考虑法：解决在与不在的问题（2）捆绑法：解决元素相邻的问题（3）插空法：解决元素不相邻的问题（4）间接法：先总体考虑，后排除不符合条件的，转化问题【典型例题】例1.（1993年全国高考）同室4人各写一张贺年卡片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡片，则4张贺年卡片不同的分配方式有：（）A.6种B.9种C.11种D.23种错解：①3×2×1×1＝6选（A）②3×2×2×1－1＝11选（C）③3×2×2×2－1＝23选（D）错解原因：由于本人不能拿自己写的卡片这一限制条件，导致它们之间有过多的相互影响的限制，因此三种解法都没有能全面考虑。有的重复有的遗漏，思路不清晰，从而错解本题。由于本题4这个数目不大，设4人分别编号甲，乙，丙，丁，4人对应卡片分别编号1，2，3，4，我们可以采用穷举法逐一列举如下：214323412413314234213412412343124321共有9种，所以正确答案选（B）[来源:]分析：建立数学模型将贺年卡片的分配问题转化为数学问题，用1，2，3，4这4个数字组成无重复的四位数，其中1不在千位，2不在百位，3不在十位，4不在个位的4位数共有多少个？思路：用乘法原理，千位只能放2，3，4三种；在放过数字2后，百位只能放1，3，4三种，后两位已经确定。类似的，当千位数字是3，十位只能放1，2，4，其余也已确定∴3×3×1＝9，共有9种，所以正确答案选（B）评析：要分析清楚它们之间的关系，注意问题的转化，和数学问题联系起来，建立数学模型。[来源:]例2.（2003年全国高考文科）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）错解：按照乘法原理3×2×2×2×2＝48种错解原因：这48种里面有不符合条件的，设三种作物为ABC，例如下面情况是存在的ABABA，BABAB只有两种作物，不符合题意，共有62223AC种正确解法：48－6＝42种例3.从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学，物理，化学和英语竞赛，每名学生只能参加一科竞赛，且任2名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方案，问一共有多少同学？分析：若设共有n名同学，则我们可以用n把参赛方法总数表示出来，这种实际上就是得到了一个关于n的方程，解方程即可求出n的值解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲分类：第一类，不选甲，则从剩下的n－1名同学中选出4人分别参加4科竞赛，有41nA种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有12A种方法，再从剩下的n－1名同学中选出3人参加剩下的3科竞赛，有31nA种方法，共有3112nAA种参赛方式，所以根据分类计数原理，一共有41nA＋3112nAA种方法，根据题意得41nA＋3112nAA＝72，解得n＝5[来源:]评析：对于这类较为复杂的问题，我们往往感到无从下手，如果，从竞赛学科的角度来思考，则需要分很多种情况，容易出错。这时我们可以采用“先取后排”的原则：即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答比较条理，有利于问题的解决。同学们在思考这个问题时，关键是要理清思路，注意问题的转化，不要“一条道走到黑”，不要“钻牛角尖”。当然这道题也可采用“先特殊后一般”的原则解决，大家不妨一试。例4.用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的（1）五位数（2）五位奇数（3）五位偶数（4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数解：（1）首位是特殊位置，按照特殊位置优先考虑的方法，第一步：首位共有19C方法，第二步：从剩余的9个数字（包括数字0）中选取4个排列，共有49A种方法根据乘法原理：共有19C49A＝27216种（2）填空法思路一：首位和末位都是特殊位置，如果先考虑首位，则有首位是奇数和偶数两种情况，分类讨论：首位奇数，则有15A种，末位为奇数有14A种，其余38A种，所以共有15A14A38A＝6720种方法。首位偶数，不能为0，则有14A种，末位为奇数有15A种，其余38A种，所以共有14A15A38A＝6720种方法，则共有15A14A38A＋14A15A38A＝13440种思路二：先确定末位为奇数，有15A种，首位不能为0，则有18A种，其余38A种，所以共有15A18A38A＝13440种分析：两个特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解决问题，在这里我详细分析，注意体会，并在解题中加以应用。（3）思路一：末位偶数，分两类：末位是0，则首位有19A种，其余有38A；末位不是0，有14A种，则首位有18A种，其余有38A，所以共有19A38A＋14A18A38A＝13776种思路二：（间接法）利用五位数的方法数19C49A＝27216种，减去五位奇数的方法数15A18A38A＝13440种，所以共有19C49A－15A18A38A＝27216－13440＝13776种（4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数第一步：选元素，数字2，3必须选上，然后再选择3个元素，有37C种第二步：排顺序，把2，3看成一个元素，俗称“捆绑”，共有4个元素排顺序，有44A种，但，2，3两元素还有顺序，有22A种所以共有37C44A22A＝1680种分析：该例题涉及组数，关键分清题目中的条件的限制，常用方法就是，特殊位置（元素）优先考虑，优先安排；相邻问题可以用捆绑法；不相邻问题可以用插空法；直接来求情况较多，也可以用间接法。只有理解了题意，明白题目的意图，这些方法才能熟练应用。思考：如何解决这个问题？用1到9这九个数组成九位数，要求偶数不能相邻，问有多少种不同的排法？例5.六本不同的书，根据下列条件分配，各有多少种不同的分配方案？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）一人一本，一人两本，一人三本（4）平均分成3堆解：（1）有编号，有分步计算原理得90222426CCC种（2）有编号，甲有16C，乙有25C，丙有33C，所以共有16C25C33C＝60种（3）无编号，先分组后分配给甲乙丙，分组有332516CCC，分配有33A，所以共有332516CCC33A＝360种（4）平均分组1533222426ACCC种【模拟试题】一、选择题1.已知椭圆12222nymx的焦点在y轴上，且5,4,3,2,1,3,2,1nm，这样的椭圆共有（）个A.9B.12C.15D.302.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场比赛，积分33分，若不考虑顺序，该队胜平负的情况共有（）种A.3B.4C.5D.63.（1991年全国高考）从4名甲型和5名乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（）种A.140B.84C.70D.354.四个不同的小球放入编号1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有（）种A.288B.144C.72D.以上都不对5.四面体的和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法有（）种A.150B.147C.144D.1416.八个不同颜色的小球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有（）种A.6B.12C.24D.287.每天上午有4节课，下午2节课，安排5门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天安排不同课程的种数为（）A.96B.120C.480D.6008.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）种A.120B.78C.96D.729.从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A.120B.60C.240D.28010.分别在三张卡片的正反面上写有1与2，3与4，5与6，且6可以当9用，把这三张卡片拼在一起，表示一个三位数，则三位数的个数共有（）个A.12B.24C.48D.72二、填空题1.有100个三好学生名额，分配到高