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10.1分类计数原理与分步计数原理成都市树人学校徐刚问题1.如图,从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车一天中,火车有3班,汽车有2班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有2类方法,第一类方法,乘火车，有3种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法.所以,从甲地到乙地共有3+2=5种方法。甲··乙火车1火车2火车3汽车1汽车2分类计数原理完成一件事情,有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。(注:本原理又称加法原理)问题2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村分析:从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有2种方法,所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。分步计数原理完成一件事情,需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。(注:本原理又称乘法原理.)分类计数原理与分步计数原理的几点说明共同点：它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法。不同点：加法原理是“分类完成”的,这些方法间是彼此独立的，即任何一类办法中的任何一个方法都能达到完成这件事的目的。乘法原理是“分步完成”的,这些方法需要几个分步骤,各个步骤顺次相依,且只有依次完成所有各步，才能达到完成这件事情的目的。因此：在处理具体问题时，必须关注如何才能完成事情。例1.某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9。(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？应用:分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有m1=5种方法;第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;所以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有N=5×4=20种。点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。例1.某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法.应用:(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？应用:书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取一本书,有多少种不同的取法?分析:分类问题——加法原理•(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法?分析:分步问题——乘法原理4+3+2=94×3×2=24例2.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,(1)可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？变式:若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分别有多少种？解:它们的密码种数依次是104,105,106,……1010种。(3)第一位数字不为0的密码数是多少？(2)第一位数字是0的密码数又是多少？分析:101010××=103(种)解:N=1×10×10=102(种)解:N=9×10×10=900(种)第一位数字第二位数字第三位数字练习:1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。分类计数原理与分步计数原理3.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地解:从总体上看,由甲到丙有三类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=6种不同的走法;第二类,由甲直接到丙地,有2种不同方法.第三类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=4×2=8种不同的走法;分类计数原理与分步计数原理所以从甲地到丙地共有N=(2×3)+(2)+(4×2)=16种不同的走法。合理分类准确分步2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB分类计数原理与分步计数原理N=3+1+2×2=8解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3条第二类,m2=1条第三类,m3=2×2=4,条所以,根据加法原理,从A到B共有N=3+1+4=8条不同的线路可通电。当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。分类计数原理与分步计数原理………...ABABm1m1m2m2mnmn点评:我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:分类计数原理与分步计数原理请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容？答:加法原理和乘法原理。2.加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法。不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,加法原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。分类计数原理与分步计数原理(小结)请同学们回答下面的问题:3.何时用加法原理、乘法原理里呢?答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理4.“合理分类”,“准确分步”要注意什么呢?“准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,还要多做一些题目,并仔细体会总结,才能保证不重复、不遗漏。“合理分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交集为空集,n类的并为全集。作业:p.97练习：2.3.4p.98习题：5.6