高二数学课件均匀随机数的产生高二数学课件

-1-3.3.2均匀随机数的产生首页当堂检测合作学习自主预习课标阐释思维脉络1.了解均匀随机数的产生方法与意义.2.会用模拟试验求几何概型的概率.3.能利用模拟试验估计不规则图形的面积.首页当堂检测合作学习自主预习均匀随机数的产生【问题思考】在古典概型中我们可以用计算器或计算机产生整数值随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过产生随机数来模拟试验呢?如果能,我们又如何产生随机数呢?首页当堂检测合作学习自主预习1.我们常用的是[0,1]上的均匀随机数,如何利用计算器产生0~1之间的均匀随机数?提示用计算器产生0~1之间的均匀随机数的方法如下:首页当堂检测合作学习自主预习2.计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数,若试验的结果是区间[a,b]上等可能出现的任何一个值,则需要产生[a,b]上的均匀随机数,对此,你用什么办法解决?提示首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换:Y=(b-a)X+a计算Y的值,则Y为[a,b]上的均匀随机数.3.利用计算机产生100个[2,6]上的均匀随机数,具体如何操作?提示(1)在A1~A100产生100个0~1之间的均匀随机数;(2)选定B1格,键入“=A1􀆽4+2”按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[2,6]上的均匀随机数;(3)选定B1格,拖动至B100,则在B1~B100的数都是[2,6]上的均匀随机数.4.做一做:用计算器或计算机产生20个0~1之间的随机数x,但是基本事件都在区间[-1,3]上,则需要经过的变换是()A.y=3x-1B.y=3x+1C.y=4x+1D.y=4x-1答案:D首页当堂检测合作学习自主预习思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)根据几何概型试验,用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生的次数N1,得到的值N1N是P(A)的精确值.()(2)用均匀随机数进行随机模拟不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积.()(3)用均匀随机数进行随机模拟,不适合估计古典概型的概率.()答案:(1)×(2)√(3)√首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析探究一用随机模拟法估算几何概型问题的概率【例1】在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,用随机模拟方法求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率.分析正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段上取一点M,求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析解法一(1)用计算机产生一组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND;(2)经过伸缩变换a=12a1,得到[0,12]内的均匀随机数;(3)统计试验总次数N和[6,9]内随机数的个数N1;解法二(1)做一个带有指针的转盘,把圆周12等分,标上刻度0~12(0与12重合);(2)固定指针转动转盘或固定转盘转动指针,记下指针在[6,9]内的次数m及试验总次数n;(4)计算频率𝑁1𝑁,记事件A={面积介于36cm2与81cm2之间}={边长介于6cm与9cm之间},则P(A)的近似值为𝑁1𝑁.(3)则所求概率的近似值为𝑚𝑛.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用模拟试验求概率近似值的步骤如下:第一步确定求均匀随机数的实数区间[a,b];第二步用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数;第三步用平移和伸缩变换转化到[a,b]内的随机数;第四步确定试验次数N和事件A发生次数N1,求得频率,即得出概率的近似值.也可用转盘模型,进行模拟试验,求得概率的近似值.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练1取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2m的概率有多大.解:设剪得的两段的长都不小于2m为事件A.法一:(1)利用计算器或计算机产生n个0~1之间的均匀随机数,x=RAND;(2)作伸缩变换y=(5-0)x+0,转化为[0,5]上的均匀随机数;(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m;(4)则概率P(A)的近似值为.法二:(1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标上刻度0~5(这里5和0重合);(2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针,记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数m及试验总次数n;(3)则概率P(A)的近似值为.𝑚𝑛𝑚𝑛首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析探究二用随机模拟法近似计算不规则图形的面积【例2】利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分)的面积.分析画出正方形→随机模拟→算出面积比→求得面积近似值首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析解:步骤:(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;(2)进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=2b1,得到一组[-1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数;(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b2a的点(a,b)的个数];(4)计算频率𝑁1𝑁,即为点落在阴影部分的概率的近似值;(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=𝑆4,则𝑁1𝑁≈𝑆4.故S≈4𝑁1𝑁,即阴影部分面积的近似值为4𝑁1𝑁.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中,将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分,并用阴影表示.(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点,求出落在阴影部分的概率P(A)=𝑁1𝑁.(3)设阴影部分的面积是S,规则图形的面积是S',则有𝑆𝑆'≈𝑁1𝑁,解得S≈𝑁1𝑁S',则阴影部分面积的近似值为𝑁1𝑁S'.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练2利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y=2-2x-x2与x轴围成的图形)的面积.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析解:(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;(2)经过平移和伸缩变换,a=4a1-3,b=3b1,得到一组[-3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数;(3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b2-2a-a2的点(a,b)的个数);(4)计算频率𝑁1𝑁就是点落在阴影部分的概率的近似值;(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为𝑆12.所以𝑆12≈𝑁1𝑁.所以S≈12𝑁1𝑁即为阴影部分面积的近似值.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析探究三利用坐标平面求与面积有关的几何概型的概率【例3】甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中任何一条船不需要等待码头空出的概率;(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中任何一条船不需要等待码头空出的概率.分析设甲、乙两船到达时间分别为x,y.根据条件列出不等式(组),并在平面直角坐标系内画出不等式组表示的区域,利用区域的面积求解.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设甲船和乙船到达时间分别为x,y,则0≤x≤24,0≤y≤24,|y-x|≥4,分别作出区域D1,D2,其中D1:0≤𝑥≤24,0≤𝑦≤24,D2:0≤𝑥≤24,0≤𝑦≤24,|𝑦-𝑥|≥4,D1为正方形区域,D2为图①中的阴影部分,设“两船不需要等待码头空出”为事件A,则P(A)=2×12×20×2024×24=2536.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析(2)设“两船不需要等待码头空出”为事件B,则区域D3:0≤𝑥≤24,0≤𝑦≤24,𝑦-𝑥≥4或𝑥-𝑦≥2为如图②所示的阴影部分,则P(B)=𝑆阴影𝑆正方形=221288.①②首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析反思感悟一般地,若一个随机事件需要用两个连续变量来描述,则可以用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练3在区间[-1,1]上随机取两个数x,y,求满足x2+y214的概率.解:以(x,y)为坐标的点构成如下区域:-1≤𝑥≤1,-1≤𝑦≤1,即构成正方形,如图所示.使得x2+y214成立的区域是正方形中的阴影部分,根据几何概型的概率公式得概率为π·12222=π16.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析搞不清由[0,1]变换到[a,b]的实质而致误【典例】将区间[0,1]内的均匀随机数a1转化为[-2,6]内的均匀随机数a,需实施的变换为()A.a=8a1B.a=8a1+2C.a=8a1-2D.a=6a1错解选A或B或D以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?错因分析区间[0,1]长度为1,区间[a,b]的长度为b-a,所以先把[0,1]内的数乘以b-a,得到[0,b-a]内的数,再把所得数(b-a)x加上a(x∈[0,1])就得[a,b]内的数.不理解公式(b-a)x+a的实质,也就无法实施变换.正解C防范措施解答此类问题时,牢记由区间[0,1]内的均匀随机数转化为[a,b]内的均匀随机数的公式.首页当堂检测自主预习合作学习探究一探究二探究三思维辨析变式训练将区间[0,1]内的均匀随机数x1转化为区间[-2,2]内的均匀随机数x,需要实施的变换为()A.x=2x1B.x=4x1C.x=2x1+2D.x=4x1-2解析:因为x1∈[0,1],所以0≤4x1≤4,-2≤4x1-2≤2.所以x=4x1-2满足题意.答案:D首页合作学习自主预习当堂检测1231.设x,y是两个[0,1]上的均匀随机数,则0≤x+y≤1的概率为()A.12B.14C.23D.316解析:如图所示,所求的概率为𝑆阴影𝑆正方形=12.答案:A首页合作学习自主预习当堂检测1232.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则b是区间上的均匀随机数.解析:0≤b1≤1,则函数b=3(b1-2)的值域是-6≤b≤-3,即b是区间[-6,-3]上的均匀随机数.答案:[-6,-3]首页合作学习自主预习当堂检测1233.利用随机模拟方法计算如图所示的阴影部分(y=x3和x=2以及x轴所围成的部分)的面积.步骤如下:(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;(2)进行伸缩变换a=2a1,b=8b1;(3)数出落在阴影内的样本点数N1(满足ba3的点(a,b)的个数),用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如,做1000次试验,即N=1000,模拟得到N1=250.答案:4由𝑆阴影𝑆矩形≈𝑁1𝑁得,S阴影≈.解析:S阴影≈𝑁1𝑁S矩形≈2501000×2×8=4.