高二数学课件立体几何中的向量法复习高二数学课件

一、复习用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）xxz专题三：利用向量解决角与距离问题例题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD6012011BCBABBABC，其中分析:分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11AAADABAC则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos631∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？设AB=1（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离.11HACHAA于点平面点作过解：.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH3360cos211)(22ACBCABAC.160cos60cos)(1111BCAAABAABCABAAACAA31||||cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是。36问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？向量法求点到平面的距离：PAn如图，已知点P（x0,y0,z0）,在平面内任意取一点A（x1,y1,z1），一个法向量ncosAPnAPnAP,n其中,APcosAPnn的距离。到平面就是点绝对值的PcosAP|AP|ndn也就是AP在法向量n上的投影的绝对值例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz:,,,,CDCBCGxyz分析以的方向为轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则(0,2,0),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(2,4,0),(4,2,0).(2,2,0),(2,4,2),B(2,0,0)GBADEFEFEGE(,,1),:EFGnxy设平面的法向量为则有例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz2-20-2-42011(,,1)33nEFnEGxyxyn，|BE|21111ndn:,||AOOeAdAOe评注若平面的斜线交于点是单位法向量,则到平面的距离为问题：请小结如何用向量的方法求空间中两点的距离？点到直线的距离？点面之间的距离？直线到直线的距离？nabCDAB已知a,b是异面直线，n为的法向量CD为a,b的公垂线则||||nABnCDA，B分别在直线a,b上练习:如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。OABCDE图2〈二〉空间“距离”问题1.空间两点之间的距离根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),,(zyxa〈二〉空间“距离”问题2.点到面的距离设n为平面的一个法向量，AB是面的一条斜线，A为斜足。根据向量在轴上射影的概念，点B到面的距离等于向量在n上的射影的长度，所以ABABndnBAn〈二〉空间“距离”问题3.异面直线间的距离n1l2l'1lCDC、D分别是上任一点，则间的距离可转化为向量在n上的射影长，故设为两异面直线，其公共法向量为n,21,ll21,ll21,llCDCDndn例2如图，ABCD是矩形，面ABCD，PD=DC=,AD=，M、N分别是AD,PB的中点，求点A到面MNC的距离PDaa2APDCBMN解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0)，A(,0,0)，B(,,0)，C(0,,0)，P(0,0,)a2a2aaaDMPNAxCBzy由于M,N分别是AD,PD的中点所以M(,0,0)，N(,a22)21,21aaa22∴，)21,21,0(aaMN)0,,22(aaMC)0,0,22(aMA设为面MNC的一个法向量，故),,(zyxmMCmMNm,解得，zyx22所以022zayaMNm022ayaxMCm且故可取)1,1,2(m所以，在上的射影长MAm2ammMAd即点A到面MNC的距离为2a1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1〈三〉巩固练习B1A1C1D1DCBAOM2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F分别是AB,AD中点，GC面ABCD,且GC＝2，求点B到面EFG的距离DCAFBGE本节课我们主要介绍了空间“角”与“距离”的向量解法。我们发现，引入“空间向量”这一工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何代数化带来很大的方便。而且，我们还发现，在立几图形中合理建立空间直角坐标系，使“空间向量”坐标化，是解题的关键。事实上，它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。〈四〉小结例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaAC，，，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB进行向量运算222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDABDBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCA设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。CADB因此.cos22222dcbaabABCD图3所以.2cos2222abdcba回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图322)(DBCDACAB由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB分析：cos2222abbca∴可算出AB的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCDAd，，，cba21212)(CCACABCAd则cos)(2222acbcabbca)(2cos2222acbcabcbad（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？aA1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F。cossin1aBFAEaCFEA，则CFEAFCEAcoscoscos11，，||||11CFEACFEA221sin)()(aBFCBAEAA2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaacos1cos∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。例1正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1yxzCADBC1B1A1EF解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为，侧棱长为ba)0,21,23(aaA)0,,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),,0(1baB则C(0,0,0)故),21,23(1baaAB),,0(1baBC由于，所以11BCAB0212211baBCAB∴ab22yxzCADBC1B1A1EF则可设=1，，则B(0,1,0)a22b)0,41,43(D)22,0,0(1C作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小1BCCE1BCDFFDEC,CBCD1在中，即E分有向线段的比为BCCRt121222211abBCCCEBECBC121∴)32,31,0(E)32,31,0(EC∴由于且，所以ACBDABCCC面1DCBD1在中，同理可求BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FD∴cos〈〉=FDEC,22463341FDECFDEC∴即二面角的余弦值为CBCD122解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyzyxzCADBC1B1A1在坐标平面yoz中BCC1∴设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm同法一，可求B(0,1,0))0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝（1，0，0）为面的法向量BCC1∴n由得，mDBmDC,102241431zyxmDC04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m二面角的大小等于〈〉CBCD1nm,∴∴cos〈〉=nm,22233nmnm方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角nm即二面角的余弦值为CBCD122练习：（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。B图4ACD（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1图5如图6，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。a''''CBAOOABCFE、B