高二数学课件诱导公式高二数学课件

§5.5.4诱导公式一、复习：终边相同的角的三角函数的值相等（公式一）sin(k.360°+α)=sinαcos(k.360°+α)=cosαtan(k.360°+α)=tgαcot(k.360°+α)=ctgα(k∈α)二、学习目的：在初中求0°——90°间角的三角函数值，可以通过查表；利用公式一，可以把求任意角的三角函数值转化为求0°——360°间的角的三角函数值。因此，如果能把求90°——360°间的角的三角函数值转化为求0°——90°间的角的三角函数值，那么就可以求任意角的三角函数值了。三、角度之间的关系设0°≤α≤90°，那么90°—180°间的角，可以写成180°-α或90°+α180°—270°间的角，可以写成180°+α或270°-α270°—360°间的角，可以写成360°-α或-α或270°+α为使讨论具有一般性，这里假定α为任意角。下面依次讨论180°+α，-α，180°-α，360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。对于90°—360°的角，可用下面的形式来表示：1、形如180°+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系单位圆：以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆1-11-1已知任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y），由于角180°+α的终边就是角α的终边的反向延长线，角180°+α的终边与单位圆的交点p‘(-x,-y)，又因单位圆的半径r=1，由正弦线和余弦线的定义得到：α180°+α因此sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαp(x,y）p'(-x,-y）sinα=ycosα=xsin(180°+α)=-ycos(180°+α)=-xxoy又根据同角三角函数间的基本关系式，有cotsincos)180sin()180cos()180cot(tancossin)180cos()180sin()180tan(于是我们得到一组公式（公式三）sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanαcot(180°+α)=cotα2、形如-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系1-11-1任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y），角-α的终边与单位圆的交点p‘(x,-y)，又因单位圆的半径r=1，由正弦线和余弦线的定义得到：α因此sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαp(x,y）sinα=ycosα=xsin(-α)=-ycos(-α)=xxoy于是我们得到一组公式（公式五）sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαp'(x,-y）-αM3、形如180°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系利用公式三和公式五，可以推出，当α为任意角时：sin(180°-α)=sin〔180°+（-α)〕=-sin(-α)=sinαcos(180°-α)=cos〔180°+（-α)〕=-cos(-α)=-cosαtan(180°-α)=tan〔180°+（-α)〕=tan(-α)=-tanαcot(180°-α)=cot〔180°+（-α)〕=cot(-α)=-cotα于是我们得到一组公式（公式二）sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαcot(180°-α)=-cotα4、形如360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系利用公式一和公式五，自己推出：于是我们得到一组公式（公式四）sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanαcot(360°-α)=-cotα公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式：sin(k.360°+α)=sinαcos(k.360°+α)=cosαtan(k.360°+α)=tanαcot(k.360°+α)=cotα(k∈α)公式一公式三sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanαcot(180°+α)=cotα公式五sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式二公式四sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαcot(180°-α)=-cotαsin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanαcot(360°-α)=-cotα概括为：k360°+α（k∈Z），180°-α。180°+α，360°-α，-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号除公式一、二、三、四、五外，还有诱导公式六、七、八、九：sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinαtan(90°-α)=cotαcot90°-α)=tanα公式六公式七sin(270°-α)=-cosαcos(270°-α)=-sinαtan(270°-α)=cotαcot(270°-α)=tanα公式八sin(270°+α)=-cosαcos(270°+α)=sinαtan(270°+α)=-cotαcot(270°+α)=-tanα概括为：90°-α，90°+α，270°+α,270°-α的三角函数值等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号sin(90°+α)=cosαcos(90°+α)=-sinαtan(90°+α)=-cotαcot(90°+α)=-tanα公式九诱导公式：sin(k.360°+α)=sinαcos(k.360°+α)=cosαtan(k.360°+α)=tanαcot(k.360°+α)=cotα(k∈α)公式一公式三sin(180°+α)=-sinαcos(180°+α)=-cosαtan(180°+α)=tanαcot(180°+α)=cotα公式五sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式二公式四sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosαtan(180°-α)=-tanαcot(180°-α)=-cotαsin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosαtan(360°-α)=-tanαcot(360°-α)=-cotαsin(4k.90°+α)=sinαcos(4k.90°+α)=cosαtan(4k.90°+α)=tanαcot(4k.90°+α)=cotα(k∈α)sin(2×90°+α)=-sinαcos(2×90°+α)=-cosαtan(2×90°+α)=tanαcot(2×90°+α)=cotαsin(0×90°-α)=-sinαcos(0×90°-α)=cosαtan(0×90°-α)=-tanαcot(0×90°-α)=-cotαsin(2×90°-α)=sinαcos(2×90°-α)=-cosαtan(2×90°-α)=-tanαcot(2×90°-α)=-cotαsin(4×90°-α)=-sinαcos(4×90°-α)=cosαtan(4×90°-α)=-tanαcot(4×90°-α)=-cotα诱导公式一、二、三、四、五可记为：函数名不变符号看象限诱导公式六、七、八可记为：函数名称变符号看象限sin(90°+α)=cosαcos(90°+α)=-sinαtan(90°+α)=-cotαcot(90°+α)=-tanα公式七公式八sin(270°-α)=-cosαcos(270°-α)=-sinαtan(270°-α)=cotαcot(270°-α)=tanα公式九sin(270°+α)=-cosαcos(270°+α)=sinαtan(270°+α)=-cotαcot(270°+α)=-tanα诱导公式总结概括为：奇变偶不变符号看象限sin(1×90°+α)=cosαcos(1×90°+α)=-sinαtan(1×90°+α)=-cotαcot(1×90°+α)=-tanαsin(3×90°-α)=-cosαcos(3×90°-α)=-sinαtan(3×90°-α)=cotαcot(3×90°-α)=tanαsin(3×90°+α)=-cosαcos(3×90°+α)=sinαtan(3×90°+α)=-cotαcot(3×90°+α)=-tanα公式六sin(90°-α)=cosαcos(90°-α)=sinαtan(90°-α)=cotαcot(90°-α)=tanαsin(1×90°-α)=cosαcos(1×90°-α)=sinαtan(1×90°-α)=cotαcot(1×90°-α)=tanα例1、求三角函数值⑴⑵⑶⑷225cos34tan1011sin81200cot解：⑴⑵⑶⑷2245cos)45180cos(225cos33tan)3tan(34tan3090.018sin10sin)10sin(1011sin703.28120cot)8120180cot(81200cot例2、求三角函数值⑴⑵⑶⑷)3sin()210tan()21240cos()400cot(解：⑴⑵⑶⑷233sin)3sin(2330tan)30180tan(210tan)210tan(4970.02160cos)2160180cos(21240cos)21240cos(1918.040cot)40360cot(400cot)400cot(例3、求三角函数值⑴⑵⑶⑷43tan)51150cos(611sin81310cot解：⑴⑵⑶⑷14tan)4tan(43tan8682.05429cos)5429180cos(51150cos)51150cos(8481.02449cot)2449360cot(81310cot216sin)62sin(611sin例4、求三角函数值⑴⑵⑶⑷519cos)317sin()1665cos()81324tan(解：⑴⑵⑶⑷9336.021cos)21180cos(159cos)159360cos(519cos233sin)323sin()317sin(tan(-324°18′)=tan(-360+35°42′)=tan35°42′2245180cos135cos1351800cos1665cos总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤任意负角的三角函数用公式五、任意正角的三角函数用公式一0°—360°间角的三角函数用公式二、三、四、及六、七、八、九0°—90°间角的三角函数查表求值例5、化简)180sin()180cot()360cos()180sin(解：sincotcossin)cot(cos)sin()180sin()180cot()360cos()180sin(例5、求证1)3tan()cos()cot()tan()2sin(解：1sincoscossin)tan()cos()cot(tan)sin()tan()cos()cot(tan)sin()3tan()cos()cot()tan()2sin(