速率分布函数

气体动理论第七章§4.5麦克斯韦速率分布律1、速率分布函数要深入研究气体的性质，一步弄清分子按速率和按能量等的分布情况。等；，如v2t不能光是研究一些平均值，还应该进整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。麦克斯韦（Maxwellslawofdistributionofspeeds）设总分子数为NN——表示速率在v~v+v区间内的分子数。N与v、v有关。NN——表示速率处在v~v+v区间内的分子数占总分子数的百分率。也与v、v有关。NNvNN——分子速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。)/(smv00/NN90以下6.290-----140140----190190----240240----290290----340340----390390以上10.3218.9322.718.312.86.24.0注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确定的规律。1）实验数据的图示化6.2%12.8%6.2%4.0%)(vf090140190240290340390v)(vfv从图中可以看出:1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数占总分子数的百分比N/N2)所有小面积的和恒等于一。3）当速率区间0v，小矩形面积的端点连成一函数曲线----分子速率分布函数。)(vfv)(vfvvv2）分布函数的意义)(vf要搞清函数的意义，先要弄清纵坐标的意义。在vvv区间作一小矩形，小矩形的面积：NNs按函数的定义vvfs)(故vvfNN)(vNNvf)(或：0v当NdvdNvf)()(vfv)(vfvvv占总分子数的比例。”率v附近单位速率区间的概率。vvvdd)(NNf由定义式可看出f(v)的意义是：因为01dvvNN所以0()1fvdv这称为速率分布函数的归一化条件。，vv0dNN即对于一个分子来说，f(v)就是分子处于速“在速率v附近，单位速率区间内的分子数（functionofdistributionofspeeds）称速率分布函数)(vf思考：1、若表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义)(vfvvdf)(（1）vvdNf)(（2）vvvvdf)(21（3）vvvvdNf)(21（4）0vvvdf)(（5）2、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）kTmekTmf2223020)2(4)(vvv0m是分子的质量，123KJ1038.1ANRk玻耳兹曼常数速率分布曲线以v为横坐标，为纵坐标，画出的曲线称为速率分布曲线。vvNdNdf)(由上式可得到一个分子在v~v+dv区间的概率为vvvdekTmNdNkTm2223020)2(4f(v)vv2v1NNdfvvvv)(21NdNdfvv)(分布曲线的物理意义①小矩形的面积表示速率处在v~v+dv区间内的分子数占总分子数的百分率。②曲边梯形的面积表示速率处在v1—v2区间内的分子数占总分子数的百分率。③曲线下的总面积10vvdf)(归一化条件3、三种统计速率1.最可几速率(最概然速率)vpf(v)vvpvp把整个速率区间分成许多相等的小区间,则速率大小与相近的气体分子数占总分子数的比率为最大。0)(vvfddpv可由求极值条件求得MRTMRTmkTp41.1220v分布曲线极大值对应的速率叫最可几速率。物理意义:讨论两种情况：MRTmkTp220v21Tpv210mpv,（1）m0一定,pTv曲线高峰右移,同时高度下降。（2）T一定，210mpvf(v)vvp11T12TTvp2f(v)v大0m小0m000vvvvvvvvdfNdNfNNd)()(MRTMRTmkT60.1880v2.平均速率v大量分子速率的算术平均值叫平均速率。vNNNNNNiiiivvvvv2211若用dN表示速率在v－v+dv区间内的分子数，v连续分布时，上式过渡到积分。iiiNNvv分立：连续：viv，2121vvvvvdNdNv对麦氏速率分布经计算得：MRTmkTπ8π8vNNNN00ddvvvvNNNvvd00d)(vvvfNidNv=Nf(v)dv，平均速率（averagespeed）平均速率任意函数(v)对全体分子按速率分布的平均值：0d)()(vvvvf02022vvvvvdfNdN)(MRTMRTmkT73.13302v3.方均根速率速率平方的平均值方均根速率f(v)vpvv2v2vvvp三种速率中，最大，次之，最小2vvpv附录:三种统计速率的计算0)1()(8]22[)(42/32/32vv2vvvvvvv222bebebebddfbbbbbN12)(4032/30dvevvf(v)dvvdNv2bv-0kTmekTmf2223020)2(4)(vvv速率分布函数中令bkTm20则2223)(4)(vvvbebf02mkTpv08mkTv速率平方的平均值2223)(4)(vvvbebfbbN23)(4042/30dvevf(v)dvvdNvv2bv-2022MRTmkT3302v讨论思考题：试说明下列各式的物理意义vvdf)(①vvdNf)(②vvvvdf)(21③vvvvdNf)(21④vvvvvdf)(21⑤NdNdNNNNdN21vvNd21vvNv速率在的所有分子速率的总和被总分子数除21vv~速率在区间内的分子数21vv~速率在区间内的分子数占总分子数的比率21vv~并非之间的分子的平均速率21vv~⑦vvv202dfm)(1⑧ppdfdfvvvvvvv)()(vvNvvvdf)(21⑥21vvvdN速率在的所有分子速率总和21vv~分子平动动能的平均值速率在内的分子的平均速率pvppdNdNvvvf(v)vT1T2例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：MkTp2v(1)T1T2(2)绿：氧白：氢2pv1pv例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子(“电子气”模型)。设导体中自由电子数为N,电子速率最大值为费米速率，且已知电子速率在v—v+dv区间的概率为：FvNNd)(0Fvv)FdAvvvv0(2A为常数（1）画出电子气的速率分布曲线（2）由定出常数AFv（3）求,,2vvvpOvf(v)解：（1）vvdNNdf)()FAvvv0(2)(0FvvFv（2）由归一化条件确定常数A13)(003F2vvdvvvvFAAdf33FvAFpvv（3）Fddfvvvvvvvvv3F75.03)(0202F3Fvvvvvv6.030222dFFvvv770602..讨论：1、用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数)(vf表示下列各量（1）速率大于的分子数；0v（2）速率大于的那些分子的平均速率；0v（4）分子速率倒数的平均值。（5）分子平均平动动能。2、设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在v1→v2区间的分子的平均速率为：21()()vvAvfdvv21()()vvBvfdvv2211()()/()vvvvCvfdvfdvvv210()()/()vvDfdvfdvvv（3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于的概率。0v（A）2000m/s，1000m/s（B）1000m/s，2000m/s（C）1000m/s，1000m/s（D）1000m/s，1000m/s223、若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分的面积相等，则图中表示（D）0v0ABf(v)vv01000m/sf(v)v4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速率分别为（）（A）最概然速率（B）平均速率（C）方均根速率（D）速率大于和小于的分子各占一半0v5、下列说法中正确的是（）（A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它；（B）表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运动的平均动能；kT21（C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下它们的速率满足；22OHvv（D）气体分子的速率等于最概然速率的概率最大。pv6、某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示，表示最概然速率，表示速率分布在之间的分子数占总分子数的百分率，当温度减低时，则（A）pvNNpppvvv0pppf(v)vvvv（A）减小，也减小pvNNp（B）增大，也增大pvNNp（C）减小，增大pvNNp（D）增大，减小pvNNp7、设为N个（N很大）分子组成的系统的速率分布函数。)(vf（1）分别写出题图（a）、(b)中阴影面积对应的数学表达式并回答其物理意义；（2）设分子质量为m，试用表示以下各量：)(vf①分子动量大小的平均值；②分子平动动能的平均值。00vvf(v)f(v)vppppvv(a)(b)§4.6玻耳兹曼分布律(了解)1、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）zyxkTdddekTmNNdvvvk230)2()(2121222020kzyxmmvvvv分子动能上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以表示分子的速度，分别表示速度沿x,y,z的分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间内的分子数dN与总分子数N的比率为,d-,d-yyyxxxvvvvvvvzyx,,vvvzzzd-vvv全“速度空间”捕捉粒子的概率为11)2(k230zyxkTdddekTmvvv“速率区间v~v+v”对应“速度空间”中半径为v、厚度为dv的“球壳”，所以粒子在速率区间内的概率为vvdekTmNNdkT22304)2(k2、玻耳兹曼分布律当系统在保守力场中处于平衡态时，坐标介于内，同时速度介于的分子数为zzzyyyxxxd,d,dzzzyyyxxxdddvvvvvvvvv,,①式改写一下式中n0为势能时单位体积内具有的各种速度的分子总数，上式称为玻耳兹曼分布律(又称玻耳兹曼分子按能量分布律)。0pzdydxdedddekTmnNdkTzyxkTpk])2[(2300vvvzdydxddddekTmnNdzyxkTvvvpk2300)2(①②式对所有速度积分得体积元内的总分子数zyxddd式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件1zyxkTdddekTmvvvk230)2(zdydxdedddekTmnNdkTzyxkTpk])2[(2300vvv②zyxenNkTddddp0③令，③式写成dxdydzdNnkTennp0称为分子数密度按势能分布的规律kTennp0重力场中分子数密度按高度分布的规律kTgzmenn00n0为z=0处的分子数密度由理想气体状态方程得：RTMmpVkTNmNNmAA00kTNnkTp理想气体状