数值分析考试总结

第一章1误差相对误差和绝对误差得概念例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?在哪些阶段将有哪些误差产生?答:实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差参数误差选用数值方法产生:截断误差计算过程产生:舍入误差传播误差6．设937.0a关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差.对于xxf1)(，估计)(af对于)(xf的误差和相对误差.解a的相对误差：由于31021|)(|axxE.xaxxEr)(,221018110921)(xEr.（1Th）)(af对于)(xf的误差和相对误差.|11||)(|axfE=25.021011321axxa=31033104110|)(|afEr.□2有效数字基本原则:1两个很接近的数字不做减法:2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1）;1||,11211xxxx对（2）;1,11xxxxx对（3）1||,0,cos1xxxx对.解(1))21()1(22xxx.(2))11(2xxxxx.(3)xxxxxxxcos1sin)cos1(sincos12.□第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））niiinxlyxp0)()(插值基函数（因子）可简洁表示为)()()()()()(0ininnijjjijixxxxxxxxxl其中:nijjjiinnjjnxxxxxx00)(,)()(.例1n=1时，线性插值公式)()()()()(010110101xxxxyxxxxyxP，例2n=2时，抛物插值公式))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxP牛顿（Newton）插值公式由差商的引入，知（1）过点10,xx的一次插值多项式为)()()(0101xxcxfxp其中],[)()(1001011xxfxxxfxfc)](,[)()(01001xxxxfxfxp（2）过点210,,xxx的二次插值多项式为))(()()(10212xxxxcxpxp其中],,[)()()()(21002010112122xxxfxxxxxfxfxxxfxfc))(](,,[)()(1021012xxxxxxxfxpxp))(](,,[)](,[)(102100100xxxxxxxfxxxxfxf重点是分段插值:例题:1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）ix-101/21if-3-1/201（2）ix-101/21if-3/2001/2解(2)：方法一.由Lagrange插值公式)()()()()(332211003xlfxlfxlfxlfxL可得：)21()(23xxxL方法二.令)()21()(3BAxxxxL由23)1(3L，21)1(3L，定A，B（称之为待定系数法）□15.设2)(xxf，求)(xf在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(xfh，并估计误差，取等距节点，且10/1h.解2)(xxf，ihxi，10,,1,0i，101h设1iixxx，则：iiiiiiiihxxxxxfxxxxxfxf1111)()()(hihxhihhixhi22))1(()1()(100)1(10)12(iixi误差估计：))1(()(!2|)()(|max)1(hixihxfxfxfhixixh.□第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分两种情形：1.连续意义下在空间],[2baL中讨论2.离散意义下在n维欧氏空间nR中讨论，只要求提供f的样本值1.最佳逼近多项式的法方程组设],[2baL的1n维子空间nP=span},,,1{2nxxx,其中nxxx,,,12是],[2baL的线性无关多项式系.对],[2baLf，设其最佳逼近多项式*可表示为:niiixa0**由nPf,0),(*nijiinjxxaf0*)1(0,0),(即njijjinixfaxx0*)1(0),,(),(（*2）其中bababaiijijijidxxxfxfdxxdxxxxx)(),(,),(称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.由niix0}{的线性无关性，可证明G正定，即上述法方程组的解存在且唯一.11、求xxfcos)(，]1,0[x的一次和二次最佳平方逼近多项式.解：设xaaxP10*1)(，2210*2)(xbxbbxP分别为)(xf的一次、二次最佳平方逼近多项式。内积10)()(),(dxxgxfgf计算如下内积：1)1,1(,21),1(x,31),1(2x31),(xx,41),(2xx,51),(22xx0),1(f,22),(fx,222),(fx建立法方程组：(1)210102)31(21021aaaa，得：2012a，2124a于是xxP22*12412)((2)2210221021025141312413121031)21(bbbbbbbbb解得：2012b，2124b，02b,于是：xxP2222412)(.□第四章1为什么要进行数值积分?常用哪些公式,方法?答:梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.2:方法好坏的判断:代数精度误差分析1.代数精度的概念定义若求积公式niiibaxfwdxxf0)()(（*）对所有次数m的多项式是精确的，但对1m次多项式不精确，则称（*）具有m次代数精度。等价定义若求积公式（*）对mxxx,,,,12是精确的，但对1mx不精确，则（*）具有m次代数精度。3:误差1等距剖分下的数值求积公式：公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数niwi)1(0,待定利用插值多项式)(xpn近似代替)(xf，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式2给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：Gauss求积公式公式特点：系数niwi)1(0,和节点nixi)1(0,均待定3分段插值多项式)(xn近似代替)(xf（分段求积）复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之：分段＋低次求积公式----------称为复化求积法两类低次（4n）求积公式：1.Newton－Cotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2.Gauss型：一点、两点、三点Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点Gauss公式复化梯形公式（nT）nabhbfxfafhxfxfxfxfxfxfhTnkknnn)],()(2)([2)]}()([)]()([)]()({[21112110复化辛甫生公式:（每个ke上用辛甫生公式求积）)]()(2)(4)([6)]}()(4)([)]()(4)([)]()(4)({[61111211021212321bfxfxfafhxfxfxfxfxfxfxfxfxfhSnkknkknnnnnabh其中，2/1kx为ke的中点复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式：bankkkxfxfbfafhdxxf1)](2)(4[)()(6)(21复化柯特斯公式[)](7)(32)(12)(32)(14)(7[90)]}(7)(32)(12)(32)(7[)](7)(32)(12)(32)(7()](7)(32)(12)(32)(7{[9011111112110412143412143472345432141bfxfxfxfxfafhxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfhCnkknkknkknkknnnnnn其中，nabh，21kx为],[1kkxx的中点，41kx，43kx为],[1kkxx的四等分的分点自适应复化求积法计算时，要预先给定n或步长h，在实际中难以把握因为，h取得太大则精度难以保证，h太小则增加计算工作量.自适应复化梯形法的具有计算过程如下：步1)]()([2,,11bfafhTabhn步2nkkxfT1)(21ThTT22112步3判断||12TT？若是，则转步5；步421,2/,2TThhnn，转步2；步5输出2T.第五章1:常用方法:(1).直接解法：Gauss逐步（顺序）消去法、Gauss主元素法、矩阵分解法等；(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解①.经典迭代法Jacobi迭代法、SeidelGauss迭代法、逐次超松弛（SOR）迭代法等；②.Krolov子空间的迭代法根据A的对称性，又分为：A对称正定-------共轭梯度法A非对称---------BICG、GMRes(最小残量法)③.解一类特定背景问题的迭代法多重网格法2:几类迭代法优缺点比较:3:迭代方法目标：求解bAx其中，A非奇异。基本思想：把线性方程组bAx的解x，化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步骤：1．将A分裂：CBA:，其中，B非奇异2．构造迭代格式bAxCxbBx)()1(kkCxbBxgGxxkk)()1(其中CBG1，称之为迭代矩阵,bBg1)()(1)()1(kkkAxbBxx其中，)(kAxb为)(kx的残余向量此时，bBgABIG11,常用的迭代方法将)(ijaA分裂为ULDA其中),,,(2211nnaaadiagD00001,121nnnaaaL，0000,1112nnnaaaU,Jacobi迭代方法若0iia，迭代格式gxGxkJk)()1(①其中Jacobi迭代矩阵：)(1ULDGJbDg1①式可写为分量形式0][11)()1(kxabaxnijjkjijiiiki,.（*1）方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.Gauss—Seidle迭代方法若0iia，迭代格式gxGxkGk)()1(②其中，Gauss-Seidel迭代矩阵：ULDGG1)(bLDg1)(其分量形式][11)(11)1()1(nijkjijijkjijiiikixaxabax,ni,,2,1.（*2）即，在计算新分量)1(kix时，利用新值)1(kjx，1,,2,1ij。迭代法（*2）或②称为Gauss—Seidel迭代方法。超松弛方法(SOR)方法定义SOR方法的迭代格式如下：111)()1()1(][1ijnijkjijkjijiiikixaxabaz,nixzxkikiki,,2,1,)1()()1()1(（*3）称为松弛因子，1即为SG方法.其矩阵形式gxGxkk