第三章——流体流动特性分解

13.1流场及其描述方法流场——流体质点在流动中所占据的空间1.拉格朗日法拉格朗日法又称随体法：着眼于流体质点，通过跟踪每一个流体质点的运动过程，研究流体质点物理量随时间变化规律，进而确定整个流场内流体质点的运动参数。B=B(a，b，c，t)式中a、b、c，t称为拉格朗日变量，是初始时刻对质点的标识随a、b、c的变化，得到不同流体质点参数B的变化a、b、c=const时，表示某个确定的流体质点的运动规律。2在t时刻，某质点a,b,c的位置可表示为：该流体质点的速度场为：),,,(tcbautxu),,,(tcbavtyv),,,(tcbawtzw类似的方法可得到该流体质点的加速度场(,,,)xxabct(,,,)yyabct(,,,)zzabct3.1流场及其描述方法32.欧拉法又称局部法，是以流体质点流过空间某个点上时的运动特性，来研究整个流体的运动的。所以流体质点的流动是空间点坐标（x，y，z）和时间t的函数，任一参量B可以表示为B=B(x，y，z，t)式中，x,y,z,t称为欧拉变量。是与流体质点无关的空间坐标值。x，y，z值不变，改变t，表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。t不变，改变x，y，z，代表某一时刻，空间各点的速度分布。3.1流场及其描述方法43.两种方法的比较3.1流场及其描述方法拉格朗日法欧拉法表达式复杂表达式简单不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法分别描述有限质点的轨迹同时描述所有质点的瞬时参数53.2流体流动的速度场速度场——任一瞬时由空间点上速度矢量构成的场，又称速度分布。1.流体质点运动的速度和加速度在直角坐标系中采用欧拉方法描述的速度函数为(,,,)(,,,)(,,,)Vuxyztivxyztjwxyztk对于具体的流体质点来说x，y，z有双重意义：一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函数x=x(t)y=y(t)z=z(t)——流体质点的运动轨迹方程6流体质点在x方向上的加速度分量为：上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量txuddtvddytwddzxDuuudxudyudzaDttxdtydtzdtyvvvvauvwtxyz所以xuuuuauvwtxyz同理z3.2流体流动的速度场7表示成矢量形式，即DVVaVVDtt欧拉方法中，流体质点的加速度由两项构成(a)当地加速度:固定点上流体质点的速度随时间的变化率，反映了流场的非定常性引起Vt(b)迁移加速度:流体质点运动改变了空间位置而引起的速度变化率，反映了流场的非均匀性VV3-73.2流体流动的速度场83.2流体流动的速度场迁移加速度当地加速度9用欧拉法求流体质点任意物理量的时间变化率：()DBBVBDttDDt称为随体导数（质点导数）——表示跟随流体质点的导数3-8t当地导数，局部导数或时变导数，表示流体质点没有空间位移时，物理量对时间的变化率()V迁移导数或位变导数，表示流体处于不同位置时物理量对时间的变化率。注：1.迁移导数虽然是参数在空间的分布，但并不是参数对坐标的导数，变量仍然是t,通过中间变量x,y,z对时间求导。2.与拉格朗日坐标系下质点导数的比较3.2流体流动的速度场10【例】已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为,uxtvyt求：在t=0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。【解】由流体质点的运动轨迹方程得dxdyuxtvytdtdt111222eede(1)ee1eede(1)ee1ttttttttttxcttctctycttctct积分得：由t=0时刻,xayb121,1cacb可得代回积分式，可得流体质点轨迹方程为(1)e1(1)e1ttxatybt3.2流体流动的速度场11【例3-1】已知用速度场u=2x，v=2y,w=0。求质点的加速度及流场中（1，1）点的加速度。【解】4xuuuuauvwxtxyz4yvvvvauvwytxyz0za44axiyj在（1，1）点上，44aij3.2流体流动的速度场122.迹线和流线迹线——某一流体质点在不同时刻所占有的空间位置连接成的空间曲线，或流体质点的运动轨迹。与拉格朗日法相对应其数学表达式为：,,dxdydzuvwdtdtdt3.2流体流动的速度场13流线——某一时刻，各点的切线方向与通过该点的流体质点速度方向相同的曲线。其数学表达式为：),,,(d),,,(d),,,(dtzyxwztzyxvytzyxux3.2流体流动的速度场143.2流体流动的速度场153.2流体流动的速度场流线的基本特性(1)在定常流动时，因为流场中各流体质点的速度不随时间变化，所以通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。(2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。（驻点或奇点除外）(3)流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。(4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。163.2流体流动的速度场【例3-2】有一流场，其流速分布规律为：u=-ky，v=kx，w=0，试求流线方程。【解】由于w=0，所以是二维流动，二维流动的流线方程微分为vyuxdd将两个分速度代入流线微分方程xyyxkdkd积分上式得到22xyC即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆17【例】已知不定常流常速度场为u=t+1,v=1，t=0时刻流体质点A位于原点。求：（1）质点A的迹线方程；（2）t=0时刻过原点的流线方程；（3）t=1时刻质点A的运动方向1,1dxdytdtdt【解】(1)由迹线方程式，2121,2xttcytc积分可得t=0时质点A位于x=y=0，得c1=c2=0。质点A的迹线方程为21,2xttyt消去参数t可得21)1(212122yyyx(a)3.2流体流动的速度场18上式表明质点A的迹线是一条以（－1/2，－1）为顶点，且通过原点的抛物线（见图）。（2）由流线微分方程式，1d1dytx积分可得cytx1在t=0时刻，流线通过原点x=y=0，可得C=0，相应的流线方程为x=y这是过原点的一、三象限角平分线，与质点A的迹线在原点相切（见图）。(b)(c)3.2流体流动的速度场19(3)为确定t=1时刻质点A的运动方向，需求此时刻过质点A所在位置的流线方程。由迹线方程可确定，t=1时刻质点A位于x=3/2，y=1位置，代入流线方程3/2111C可得C=－1/4t=1时刻过流体质点A所在位置的流线方程为x=2y－1/2上式是一条与流体质点A的迹线相切于（3/2，1）点的斜直线，运动方向为沿该直线朝x,y值增大方向。讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见c和d式）。(d)3.2流体流动的速度场203.流管、流束和总流流管：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。流管表面上流体的速度与流管表面平行，即流管表面法向单位向量n与该点的速度V相垂直。流管方程为：0nV流体质点不能穿过流管流入或流出。流束：过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。有效截面：在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。也称为过流断面。3.2流体流动的速度场213.2流体流动的速度场224.流量和平均流速流量：单位时间内通过有效截面的流体的量体积流量：以Qv表示。单位为m3/s质量流量：以Qm表示。单位为kg/s对于在流管有效截面上流速不等的流动，其体积流量为VAQVdA当流速与截面A不垂直时，体积流量变为cosVAAQVndAVdA式中n是截面的外法线单位矢量3.2流体流动的速度场23平均流速：平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。VAVdAQVAA3.2流体流动的速度场对于非圆截面管道引入湿周、水力半径和当量直径概念湿周χ：在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度水力半径Rh：总流的有效截面面积与湿周之比当量直径Dh：4倍的水力半径ARh24【例】已知:粘性流体在圆管（半径R）内作定常流动。设圆截面上速度分布呈抛物线分布21mruuR求：（1）流量Q的表达式；（2）截面上平均速度V其中um截面速度分布的最大速度。【解】流量计算时dA=2πrdr，抛物线分布的流量为2312200122RRmmArrQVndAurdrurdrRR2422020.524RmmrruuRR20.5mQVuR其平均速度为：3.2流体流动的速度场253.2流体流动的速度场【例3-3】直径为d的圆形管道，边长为a的正方形管道和高为h,宽为3h的矩形管道，具有相同的有效截面积A0=0.0314m2，分别求出这三种充满流体的管道的湿周χ、水力半径Rh和当量直径Dh，并说明那种管道最省材料（1）直径为d的圆管d=0.20(m）χ=πd=0.628(m)Rh=A0/χ=0.05(m)Dh=4Rh=0.2(m)=d（2）边长为a正方形d=0.177(m）χ=4a=0.708(m)Rh=A0/χ=0.044(m)Dh=4Rh=0.177(m)【解】（3）高为h的长方形h=0.102(m）χ=0.816(m)Rh=A0/χ=0.038(m)Dh=4Rh=0.153(m)圆形截面湿周最小，过流截面积最大，最省料263.3流体微团运动分析1.亥姆霍兹速度分解定理在xy平面流场中，M0点的速度为在x方向上的速度为u0，则利用流体参数的连续性用泰勒展开可以得到邻近的M点的速度在x方向的分量u可表示为011()dd()d22uvuuvuuyxyyxxyx旋转速率线变形速率角变形速率M0平移速度M相对M0的速度272.流体微团运动分析（1）平移运动表现为流体微团整体从ABC点运动平移运动到A'B'C'点，微团内部任一流体质点在x,y方向上的速度均为u,v，不存在速度梯度。3.3流体微团运动分析xy'A'C'B,Auv,Cuv,Buvxy28（2）线变形运动流体微团内部沿x方向运动，但是B点和A点流体可能存在x方向上的速度差，C点和A点可能存在y方向上的速度差，如图。3.3流体微团运动分析xy,uBuxvx,Auv,vCuvyy'B'A'Cuxtxvyty29线变形速率：单位时间、单位长度的伸长（缩短）率xxuxtuxxtx3.3流体微团运动分析同理y和z方向上的线变形速率为yyvyzzwz面积扩张率：面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率uvVxy体积膨胀率：体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率uvwVxyz不可压缩流体的速度散度——面积扩张率和体积膨胀率为零速度的散度30（3）旋转运动因为B点和A点可能存在y方向上的速度差，而C点和A点可能