3、可降阶的二阶微分方程

目录上页下页返回结束可降为一阶的二阶微分方程的解法第三节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第八章目录上页下页返回结束(,,)yfxyy本节考虑二阶微分方程中的如下的三种特殊类型:二、型的微分方程一、型的微分方程三、型的微分方程目录上页下页返回结束一、)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程特点：右端仅含有自变量x。目录上页下页返回结束例1.解:12dcoseCxxyx12sine21Cxxxy2e41xy2e81xsin21xC32CxCxcos21CxC目录上页下页返回结束),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、特点：右端不含有变量y。目录上页下页返回结束例2.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为目录上页下页返回结束三、),(yyfy型的微分方程令),(ypyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解特点：右端不含有自变量x。目录上页下页返回结束例3.求解代入方程得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:xpydd则xyypddddyppdd目录上页下页返回结束内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xpy令,)(ypy目录上页下页返回结束思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例6例7