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东华大学2011--2012学年第一学期期末试题A卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。考试科目线性代数使用专业全校相关专业任课教师选课班号________学号姓名一二三四五六总分试题得分一、填空题（每小题4分，共40分）.1、行列式nabbbabDbba==##%#[]1(1)()nanbab.−+−−2、已知矩阵X满足,则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0000012134321XX=X321168⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠.3、已知矩阵，，则121311A−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠210101B−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠=TAB4252−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠.4、设矩阵101020,⎟201⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟−⎝⎠AB满足2−−=ABABE，则B=1002010.100⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠5、设向量组123(1,1,1),(1,2,0),(,,)abcααα===线性相关,则秩123(,,)Rααα=2.6、设A为3阶矩阵,||,则2A=1(2)AA−∗−=2716−.7、已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式1231,,,2Aαααβ==−，1232,,,Bαααβ==1，则行列式AB+=8−.8、三阶方阵A的特征值为1,－1,2,则3AA∗−的特征值为-5,5,-7.19、若是矩阵的特征向量，则a=11aβ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=302212221A0,-1.10、若实二次型为正定二23322231212132144422),,(xxxxxxxxxxxxf+++−+=λ次型,则λ的取值范围为).1,2(−∈λ二、单项选择题（每小题3分,共30分）1、设行列式111213212223313233aaaDaaaaaa=，则=−−−131211232221333231222333aaaaaaaaa（A）.A.6D;B.6D−;C.;D.4D4D−.2、正交矩阵的行列式为（D）A.-1;B.0;C.1;D.1或-1.3、已知,AB为4阶方阵,||,||2=−A2=−B,则*1(2)−=AB（D）.A.;B.;C.2814−;D.14.4、设,,ABC为阶方阵，且n=ABCE，则必有（A）.A.;B.=BCAE=ACBE;C.=CBAE;D..=BACE5、已知向量321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，向量2β不能由321,,ααα线性表示，则下列结论不正确的是（C）．A.1321,,,βααα线性相关;B.2321,,,βααα线性无关;C.21321,,,ββααα−线性相关;D.21321,,,ββααα+线性无关.6、设A为矩阵，，且nm×0≠b()RAn=，则线性方程组bAx=（D）．A.有唯一解;B.有无穷多解C.无解;D.可能无解.27、设矩阵，其中，则A为（C）.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=abbaA1,022=+babaA.正定矩阵；B.初等矩阵；C.正交矩阵；D.以上都不对.8、设()33×=ijaA为非零实矩阵，ijijAa=，是行列式|中元素的代数余子式，则行列式|jiA|Ajia|A=（B）.A.0；B.1；C.2；D.3.9、设，且A的特征值为6，2，2,若A有三个线性无关的特⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=53342111aA征向量，则（B）.=aA.2；B.—2；C.4；D.—4.10、n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是（C）A．所有k阶子式为正()；B.A的所有特征值为非负；nk,,2,1=C.为正定矩阵；D.1−AnAR=)(.三、(6分)设矩阵A的伴随矩阵，且。求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*AEBAABA311+=−−B。解:由，有，得1*||||−=nAA8||3=A2||=A。（2分）用，*AA左右乘方程的两端，得（4分）EBAE6)2(*=−（6分）1*)2(6−−=AEB⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−10300606006000066030010100100001613四、(9分)设,TTTTab)1,3,2,1(,)2,1,1,1(,)3,0,0,1(,)1,,1,0(321−=−==−=αααβ4(1,2,2,),Taα=−问a取何值时?b，（1）向量β可由向量组4321,,,αααα表示，且表示式唯一；（2）向量β不能由向量组4321,,,αααα线性表示；（3）向量β可由向量组4321,,,αααα线性表示，但表示式不唯一，并写出一般式．解:设44332211ααααβxxxx+++=，则123423423412340,221,(*)(3)2,321,xxxxxxxxaxxbxxxax+++=⎧⎪++=⎪⎨−+−−=⎪⎪+++=−⎩其增广矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+−−−−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=01000101001221011101~112323101221001111########abaabaA（2分）（1）当，b为任意实数时，1≠a，4)()(==ARAR(*)有唯一解，即向量β可由向量组4321,,,αααα线性表示，且表达式唯一；（4分）（2）当时，1,1−≠=ba，3)(,2)(==ARAR(*)无解，即向量β不可由向量组4321,,,αααα线性表示；（6分）（3）当时，1,1−==ba，42)()(==ARAR(*)有无数解，其通解为12341212(,,,)(1,1,0,0)(1,2,1,0)(1,2,0,1),,,=−+−+−∈TTTxxxxkkkkR此时向量β可由向量组4321,,,αααα线性表示，且表达式不唯一.（8分）其一般式为.,.)221()1(214231221121Rtttttttt∈++−−+++−=ααααβ（9分）4五、(9分)求正交变换xPy=,将实二次型化为标准型,并写出正交变换。232122213,2,1433)(xxxxxxxxf+−+=解：二次型的矩阵,（1分）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100032023A0)5()1(1000320232=−−−=−−−−−=−λλλλλλEA,特征值1,5321===λλλ.（3分）当51=λ时，的系数矩阵0)5(=−xEAG,000100011~4000220225⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−EA.（4分）⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=0111p当132==λλ时，0)(=−xEAG的系数矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−000000011~000022022EA,（6分）,0112⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p.1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p已经正交,单位化,得,1p,2p3p⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011211e,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011211e,（7分）.1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=e令()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==20001101121321eeeP作变换yPxGG=(8分）二次型化为标准形.（9分）2322215yyyf++=5六、(6分)设是阶实矩阵,BA，nA的特征值互异。证明:矩阵BAAB=的充分必要条件为A的特征向量都是B的特征向量。解：必要性：设α是A的对应于特征值λ的特征向量,即λαα=A，则(i)当0≠αB时，由)()()(αλααBABBA==，知ααB,都是A对应特征值λ的特征向量，λ是A的一重特征值，ααB,线性相关。因此，存在常数μ，使μαα=B，α是B的对应于特征值μ的特征向量;(2分)(ii)当0=αB时，α是B的对应于特征值0=μ的特征向量。故A的特征向量都是B的特征向量。(3分)充分性：A的特征值互异，故A相似于对角阵.即存在可逆阵),,,(21nPααα=，使,11−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=PPAnλλ%其中iiiAαλα=.(4分)),,2,1(ni=由于A的特征向量都是B的特征向量，故,11−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=PPBnμμ%其中iiiBαμα=.(5分)),,2,1(ni=因为1111111−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=PPPPPPABnnnnμλμλμμλλ%%%，111−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=PPBAnnλμλμ%，所以BAAB=。(6分)6