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《数学分析》教案-1-第十三章函数列与函数项级数教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。教学时数：20学时§1一致收敛性一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“”定义.例1对定义在内的等比函数列,用“”定义验证其收敛域为,且例2.用“”定义验证在内.例3考查以下函数列的收敛域与极限函数:.⑴..《数学分析》教案-2-⑵..⑶设为区间上的全体有理数所成数列.令,.⑷.,.⑸有,,.（注意.）二.函数列的一致收敛性:问题:若在数集D上,.试问:通项的解析性质是否必遗传给极限函数?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传,但.用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段.对这种函数,就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要.那末,在什么条件下通项函《数学分析》教案-3-数的解析性质能遗传给极限函数呢?一个充分条件就是所谓“一致收敛”.一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义(一致收敛)一致收敛的几何意义.Th1(一致收敛的Cauchy准则)函数列在数集D上一致收敛,,.(介绍另一种形式.)证(利用式)易见逐点收敛.设,……,有.令,对D成立,即,，D.推论1在D上,，.推论2设在数集D上,.若存在数列D,使,则函数列在数集D上非一致收敛.应用系2判断函数列在数集D上非一致收敛时,常选为函数―在数集D上的最值点.验证函数一致收敛性:例4.证明函数列在R内一致收敛.《数学分析》教案-4-例5.证明在R内,但不一致收敛.证显然有,在点处取得极大值,.由系2,不一致收敛.例6.证明在内,.证易见而在内成立.由系1,……例7对定义在区间上的函数列证明:,但在上不一致收敛.P38—39例3,参图13-4.证时,只要,就有.因此,在上有《数学分析》教案-5-.,.于是,在上有.但由于,,因此,该函数列在上不一致收敛.例8.考查函数列在下列区间上的一致收敛性:⑴;⑵.三.函数项级数及其一致收敛性:1．函数项级数及其和函数：，,前项部分和函数列，收敛点，收敛域,和函数,余项.例9定义在内的函数项级数(称为几何级数)的部分和函数列为,收敛域为.2.一致收敛性:定义一致收敛性.Th2(Cauchy准则)级数在区间D上一致收敛,,对D成立.推论级数在区间D上一致收敛,,.《数学分析》教案-6-Th3级数在区间D上一致收敛,.例10证明级数在R内一致收敛.证令=,则时对R成立.……例11几何级数在区间上一致收敛；但在内非一致收敛.证在区间上,有,.一致收敛;而在区间内,取,有,.非一致收敛.《数学分析》教案-7-(亦可由通项在区间内非一致收敛于零,非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛,但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛.我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数在区间内闭一致收敛.四.函数项级数一致收敛判别法:1.M-判别法:Th4(Weierstrass判别法)设级数定义在区间D上,是收敛的正项级数.若当充分大时,对D有|,则在D上一致收敛.证然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法.称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数.于是Th4可以叙述为:若级数在区间D上存在优级数,则级数在区间D上一致收敛.应用时,常可试取.但应注意,级数在区间D上不存在优级数,级数在区间D上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例12判断函数项级数和在R内的一致收敛性.《数学分析》教案-8-例13设是区间上的单调函数.试证明:若级数与都绝对收敛,则级数在区间上绝对并一致收敛.简证,留为作业..……2.Abel判别法:Th5设ⅰ级数在区间上收敛;ⅱ对每个,数列单调;ⅲ函数列在上一致有界,即,使对和,有.则级数在区间上一致收敛.([1]P43)2.Dirichlet判别法:Th6设ⅰ级数的部分和函数列在区间上一致有界;ⅱ对于每一个,数列单调;ⅲ在区间上函数列一致收敛于零.则级数在区间上一致收敛.例14判断函数项级数在区间上的一致收敛性.解记.则有ⅰ级数收敛;ⅱ对每个,↗；ⅲ对和成立.由Abel判别法,在区间上一致收敛.《数学分析》教案-9-例15设数列单调收敛于零.试证明:级数在区间上一致收敛.证在上有.可见级数的部分和函数列在区间上一致有界.取,.就有级数的部分和函数列在区间上一致有界,而函数列对每一个单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数在区间上一致收敛.其实,在数列单调收敛于零的条件下,级数在不包含的任何区间上都一致收敛.习题课例1设,,.且,.若对每个自然数有|―|对成立,则函数列{}在上一致收敛于函数.例2证明函数列在区间上非一致收敛.《数学分析》教案-10-例3,.讨论函数列{}的一致收敛性.解0,.|―0|.可求得.函数列{}在区间上非一致收敛.例4设函数在区间上连续.定义.试证明函数列{}在区间上一致收敛于零.证法一由有界.设在区间上||.||;||;………………………||.注意到对,.0,,.证法二《数学分析》教案-11-.有界.设在区间上||.把函数在点展开成具Lagrange型余项的阶Taylor公式,注意到,就有,,,.所以,0,,.例5设.且,.令,,.…….试证明:若对和,有,则函数列{}在区间上一致收敛.证对取,使时,有.于是对任何自然数和,有.由Cauchy收敛准则,函数列{}在区间上一致收敛.《数学分析》教案-12-例6设在数集上函数列{}一致收敛于函数.若每个在数集上有界,则函数列{}在数集上一致有界.证(先证函数在数集上有界)设在上有||.对,由函数列{}在数集上一致收敛,,当时,对,有|||,||.即函数在数集上有界.(次证函数列{}在数集上一致有界)时,对,有||―|||―|,||.取易见对和有||.即函数列{}在数集上一致有界.例7设{}为定义在区间上的函数列,且对每个,函数在点右连续,但数列{}发散.试证明:对),函数列{}在区间内都不一致收敛.证反设,使{}在区间内一致收敛.则对,有对成立.《数学分析》教案-13-.{}为Cauchy列,即{}收敛.与已知条件矛盾.§2一致收敛函数列和函数项级数的性质一.一致收敛函数列极限函数的解析性质:1.连续性:Th1设在上,且对,函数在上连续,在上连续.证(要证:对,在点连续.即证:对,,当|时,.).估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项可以任意小;而由函数在点连续,第二项也可以任意小.……推论设在上.若在上间断，则函数列{}在上一致收敛和所有在上连续不能同时成立.註Th1表明:对于各项都连续且一致收敛的函数列{},有.即极限次序可换.2.可积性:《数学分析》教案-14-Th2若在区间上函数列{}一致收敛,且每个在上连续.则有.证设在上,由Th1,函数在区间上连续,因此可积.我们要证.注意到,可见只要在上成立.Th2的条件可减弱为:用条件“在上(R)可积”代替条件“在上连续”.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作.其中之一是:Th设{}是定义在区间上的函数列.若{}在上收敛且一致可积,则其极限函数在上(R)可积,且有.3.可微性:Th3设函数列{}定义在区间上,在某个点收敛.对,在上连续可导,且由导函数构成的函数列{}在上一致收敛,则函数列{}在区间上收敛,且有.证设，.,.《数学分析》教案-15-对,注意到函数连续和+,就有+（对第二项交换极限与积分次序）++.估计|+――|―|+|,可证得..即.亦即求导运算与极限运算次序可换.例1P38例1(说明定理的条件是充分的,但不必要.)例2P39例2(说明定理的条件是充分的,但不必要.)ExP429，11P434.二.一致收敛函数项级数和函数的解析性质:把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关于和函数解析性质的相应结果.例3P40例3例4证明函数在区间内连续.《数学分析》教案-16-证(先证在区间内闭一致收敛.)对，有，；又，在一致收敛.(次证对,在点连续)对,由上段讨论,在区间上一致收敛;又函数连续,在区间上连续,在点连续.由点的任意性,在区间内连续.例5,.计算积分.第十四章幂级数教学目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。教学时数：12学时§1幂级数（4时）《数学分析》教案-17-幂级数的一般概念.型如和的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一.幂级数的收敛域:1.收敛半径、收敛区间和收敛域：Th1（Abel）若幂级数在点收敛，则对满足不等式的任何，幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散.证收敛,{}有界.设||,有|,其中..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R.收敛半径R的求法.Th2对于幂级数,若,则《数学分析》教案-18-ⅰ时,;ⅱ时;ⅲ时.证,(强调开方次数与的次数是一致的).……由于,因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间:.幂级数的收敛域:一般来说,收敛区间收敛域.幂级数的收敛域是区间、、或之一.例1求幂级数的收敛域.例2求幂级数的收敛域.例3求下列幂级数的收敛域:⑴;⑵.2.复合幂级数:令,则化为幂级数.设该幂级数的收敛区间为，则级数的收敛区间由不等式确定.可相应考虑收敛域.《数学分析》教案-19-特称幂级数为正整数)为缺项幂级数.其中.应注意为第项的系数.并应注意缺项幂级数并不是复合幂级数,该级数中,为第项的系数.例4求幂级数的收敛域.解是缺项幂级数..收敛区间为.时,通项.因此,该幂级数的收敛域为.例5求级数的收敛域.解令,所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散性结果,当且仅当时级数收敛.因此当且仅当,即时级数收敛.所以所论级数的收敛域为.例6求幂级数的收敛半径.解.二．幂级数的一致收敛性：《数学分析》教案-20-Th3若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证,设,则对,有,级数绝对收敛,由优级数判别法,幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.Th4设幂级数的收敛半径为,且在点(或)收敛,则幂级数在区间(或)上一致收敛.证.收敛,函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛.三.幂级数的性质:1.逐项求导和积分后的级数:设,*)和**)仍为幂级数.我们有命题1*)和**)与有相同的收敛半径.(简证)《数学分析》教案-21-值得注意的是，*)和**)与虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数.2.幂级数的运算性质:定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.命题2,.(由以下命题4系2)命题3设幂级数和的收敛半径分别为和,,则ⅰ,—Const，.ⅱ+,.ⅲ()(),,.3.和函数的性质:命题4设在(内.则ⅰ在内连续;《数学分析》教案-22-ⅱ若级数或收敛,则在点(或)是左(或右)连续的;ⅲ对,在点可微且有;ⅳ对,在区间上可积,且.当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续,因此有.推论1和函数在区间内任意次可导,且有,…….由系1可见,是幂级数的和函数的必要条件