数学分析1练习题

数学分析1练习题一、判断题1、非空有界数集S必有正常上确界和下确界；2、单调数列必有极限；3、有界数列必有极限；4、有极限的数列一定单调；5、有极限的数列一定有界；6、设fx()在ab(,)内连续，则fx()在ab(,)内一定取得最大值和最小值；7、设fx()在ab(,)内连续，则fx()在ab(,)内一定一致连续性；8、设函数fx()在点x0连续，则函数fx()在点x0一定可导；9、设函数fx()在点x0可导，则函数fx()在点x0一定连续；10、设fx0()和fx0()均存在，则fx0()一定存在；11、设fx0()和fx0()均存在，则fx()在点x0一定连续；12、函数fx()在点x0取得极值，则必有fx0()0；13、若fx0()0，则x0为函数fx()的极值点；14、点xfx00(,())为曲线yfx()的拐点，则必有fx0()0；15、若fx0()0，则点xfx00(,())为曲线yfx()的拐点；16、若xxfx0lim()不存在，则fx0()一定不存在；17、设fxCab()[,]，在ab(,)内可导，则一定不存在ab(,)，使得f()0；18、设函数fx()在点x0可微，则函数fx()在点x0一定可导；19、若xxfx0lim()存在，则函数fx()在点x0一定连续；20、若xxfx0lim()不存在，xxgx0lim()也不存在，则xxfxgx0lim[()()]一定不存在；21、若xxfx0lim()不存在，xxgx0lim()存在，则xxfxgx0lim[()()]一定不存在；22、若xxfx0lim()不存在，xxgx0lim()存在，则xxfxgx0lim[()()]一定不存在；23、xxxxxxxx3300tansinlimlim0sin；二、填空题1、设fx()的定义域为[0,1]，则fx2()的定义域为；2、nnnn22321lim23；3、nnnlnlim；4、xxx01limsin；5、xxx0sin5limtan3；6、xxxx20sin5limtan3；7、xxx0ln(1)lim；8、xxex01lim；9、xxx201coslim；10、曲线xyxx3231的垂直渐近线为；11、曲线xyxx2231的水平渐近线为；12、曲线xyxx32342的斜渐近线为；13、设fxx()sgn，则x0为函数fx()的间断点；14、设xxfxxxsin,0()2,0，则x0为函数fx()的间断点-；15、设fxx()tan，则x2为函数fx()的间断点；16、设fxx1()sin，则x0为函数fx()的间断点；17、曲线fxx()ln在点(1,0)的切线方程为；18、nnx()；19、nx()sin；20、x(2009)sin；21、nx()cos；22、x(2009)cos；23、设xtytt2ln(1)arctan，则dydx，ddydtdx，dydx22；24、曲线fxxx32()3的拐点为；25、曲线fxx3()的拐点为；26、函数fxxx54()5在[1,2]上的最大值为；最小值为；27、设fxxxx()(1)(2)(3)，则fx()0有个根。三、计算题1、xxx221sin(1)lim1；2、3limxxxx；3、111lim43xxx；4、20sinlimsinxxxxx；5、10lim(0,0,0)3xxxxxabcabc；6、xxxsin0lim；7、xxx01limcot；8、求xxxexx22330ln(1)sin1lim；9、求xxxx21limln(1)；10、求222111lim12nnnnn；11、设(0)(0)0gg，1()sin,0,()0,0,gxxfxxx求(0)f；12、设2331logsin2tancot1xxeyxarcxxx，求dy；13、设xyxxsin(0)，求y；14、设cossinttxetyet，求22dydx；15、设xyxe23，求y(20)；16、设32xyxe，求(10)y；17、设xyxe，求()ny；18、设lnyxx，求()ny；19、设ln(1)yx，求()ny；20、设xxfxaxbx2,2(),2在x2可导，求ab,的值；21、将函数fxx1()在x1处展开成带拉格朗日型和佩亚诺型余项的泰勒公式；22、将函数fxx1()在x2处展开成带拉格朗日型和佩亚诺型余项的泰勒公式；23、将函数fxx()sin在x4处展开成带拉格朗日型和佩亚诺型余项的泰勒公式；24、将函数xfxe13()展开成带拉格朗日型和佩亚诺型余项的麦克劳林公式；四、证明题1、按定义证明221lim212nnnn；2、按定义证明21limsin0(0)nnn；3、按定义证明51lim5xxx；4、按定义证明224lim42xxx；4、证明()sinfxx在(,)上一致连续；5、证明fxx()在[1,)上一致连续；6、设函数()fx在[0,2]a上连续，且(0)(2)ffa。证明：存在点0[0,]xa，使得00()()fxfxa；7、证明x0时，xxex212!；8、证明x0时，xxxx221ln(1)1；9、设0x，0y，xy，证明：lnln()ln2xyxxyyxy；10、设0x，0y，xy，1n，证明：1()22nnnxyxy；11、设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且0ab。证明存在(,)ab，使得1()()()()abffabfafb；12、设函数()fx在[0,]上连续，在(0,)内可导。证明存在(0,)，使得()cos()sin0ff；13、设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，又0ba。证明存在(,)ab、，使得ln()()baffba；14、设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且fafb()()0，证明存在ab(,)，使得ff()()0；15、设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且fafb()()0，证明存在ab(,)，使得ff()()0；16、设112,,2nnxxx，证明limnnx存在，并求limnnx；17、设1212,22,,2nnxxxx，证明limnnx存在，并求limnnx；18、设limnnaa，证明[]limnnnaan；21、证明数列222111123nan收敛；19、设()fx为定义在D上的有界函数，证明：（1）sup{()}inf()xDxDfxfx；（2）xDxDfxfxinf{()}sup()。五、综合题1、讨论函数221()lim1nnnxfxxx的间断点，并确定其类型；2、列表讨论函数32(1)yxx的单调性、凹凸性、极值、拐点，并作出其图形。