三级火箭

1数学建模结课论文学号：2008010172姓名：尹鼎班级：08数学1班2三级火箭发射人造卫星的原理【摘要】本文研究的是为何使用三级火箭发射卫星，并针对题目的五个问题分别建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中，通过运用MATLAB，微分方程及数学分析中的理论，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。问题一通过对材料的分析，及所学的万有引力和匀速圆周运动的规律，从而求得：hRgRrgRV。问题二根据速度是时间的连续函数及假设质量也是时间的连续函数，把火箭和火箭的喷气当作一系统，由动量守恒知：0,)(ln)(ln000ttmmutmmuVtV）（问题三根据火箭质量的组成部分，及结构质量与燃料质量的关系，代入问题二中的结论，可知火箭不带卫星时，燃料用完时的最大速度：lnuVm，且代入材料中提供的数据知skmVm/7，由第一宇宙速度知，火箭不能到达任务轨道，引发对质量的研究。问题四通过假设在燃料燃烧的同时，结构质量是时间的连续函数，由质量组成部分及动量守恒知：0,)(ln)1(0ttmmutV）（。且燃料用完时，火箭的末速度pmmmuV0ln)1(，速度得到提高。问题五对问题四中所涉及的模型进行改进，由于模型三中的假设过于理想，现在科技难以实现。故将连续问题离散化，采用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构部分。由微分方程及动量守恒得到一个最小值问题，通过MATLAB解得最优解，即知多级火箭的末速度及火箭质量的关系。由材料所提供的参数，可得第三级火箭的末速kkuttuttuV11ln3)1(1ln3))1(1ln(33且分析可知使用三级火箭是科学理论必然的结果。【关键词】末速度动量守恒3一、问题重述为了研究为何使用三级火箭运载卫星，首先要了解人类为何探索太空。总所周知，太空为我们提供全球观察手段，你所处的位置越高，对地球所观测到的范围就越大，航天就基于这样的出发点探索宇宙——在太空中选取有利位置，可以观察到地球表面大部分区域。在轨运行的航天器起着“眼睛和耳朵”的作用，提供各种各样的服务。航天任务便携带人类的意愿开始游走宇宙。航天任务结构由航天器、轨道、运载工具、操作网络及其他要素组成。航天器包括有效载荷和平台，其中有效载荷是航天器实际执行任务的部分，而平台将分配电能、维持合适的温度、处理和储存数据、跟其它航天器和地面操作人员进行通信、控制航天器的方位等子系统集成在一起。轨道是航天器在空间运行的轨迹，轨道的大小、形状和方位由任务决定。运载工具——火箭就是把航天器送入正确的任务轨道。操作网络是联系任务的其他部分。火箭的合理安排便成为卫星是否升入太空的保证。建立一个符合实际的火箭模型尤为重要。我们需要解决的问题为：1．已知火箭的任务轨道及卫星绕地球做匀速圆周运动，求卫星具有的最终速度即火箭的末速度。2．由于火箭的速度及质量是时间的连续函数，忽略重力及阻力对火箭这一系统的影响，运用动量守恒原理，研究制约火箭末速度的因素。3．从问题2中建立的模型二，可知初末质量比的提高是提高末速度的可行手段。通过材料提供的信息知火箭质量分为三部分：有效载荷，燃料和结构。当火箭的有效载荷为零时即火箭不带卫星，燃料用完时火箭的末速度是多大，是否满足要求。4．从问题三中的模型三可知，火箭的末速度不能达到第一宇宙速度，究其原因，火箭躯体这样大的无效载荷在发射过程中要浪费掉大量燃料，效率低下。对模型三进行改进，假设结构质量与燃烧质量以一定的比例同时间少，研究此时的火箭的末速度及其制约其的因素。5．对于问题四中的理想化模型的假设条件可知，结构质量是时间的连续函数，在如今的科技下，难以控制。现将连续问题离散化，即经过一段时间后，丢弃无用的结构部分。根据材料，建造多级火箭的办法实现离散化。由各级的初末质量，不变比例及喷气的相对速度，依次可知每级的末速度，从而由材料中所提供的数据得第三级火箭的末速。在根据速度与质量的关系，分析如今为何使用三级火箭发射卫星。4二、基本假设【基本假设】1．假设地球是半径为R的均匀球体。2．假设卫星的质量为m，在高度为h（球心距r=R+h）的平面轨道上作匀速圆周运动。3．假设忽略后坐力及转向损失、重力、大气、微流星体和太空垃圾辐射等环境影响等对其所造成的阻力。4．假设速度是时间的连续函数。5．假设质量是时间的连续函数。6．假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分。7．假设忽略太阳、月球或其他任何第三天体对火箭这一系统的引力影响。三、符号说明【符号说明】R——地球半径M——地球的质量M——卫星质量h——距地球表面高度r——球心距，为R+hg——地球表面重力加速度G——万有引力常数F——万有引力或向心力V——火箭末速U——喷出气体相对于火箭的速度m(t)——火箭的质量0m——火箭的初始质量V(t)——火箭飞行中的速度0V——火箭的初速度pm——有效载荷（卫星）fm——燃料sm——结构（外壳，燃料仓等）——sm在fm+sm中的比例5im——第i级火箭的质量iW——第i级火箭工作时的系统初始质量'iW——第i级火箭工作结束时的系统剩余质量iV——第i级火箭工作结束时的末速度it——第i级火箭的初始质量与其负载质量之比k——第i级火箭的质量与其所负载的质量四、模型的建立与求解4.1【模型一】4.1.1模型分析通过对材料中的假设，卫星绕地球作匀速圆周运动，要把卫星送到距离地球表面h的高度上，火箭末速的大小可根据万有引力公式及匀速圆周运动的规律，从而可以求出末速。4.1.2模型建立与求解对卫星受力分析——只受到地球对其的万有引力，则2rGMmF由卫星的地面质量知：2RGMmmg得，2gRGM代入万有引力，则22rmgRF万有引力是卫星做匀速圆周运动的向心力，则rmVF2综合：rmVrmgRF222所以hRgRrgRV分析：当h增大时，末速V减小设281.9smg，kmR6400,对不同的高度h可计算相应的火箭末速V,则：6发射高度h与相应的火箭末速V之间的关系h(km)4006008001000V(km/s)7.697.587.477.374.2【模型2】4.2.1模型分析知道最终需要的速度，研究最终的速度所依赖的因素，以便调整。对火箭及其所喷出的气体这一系统，由于系统中总动量是不变的，利用动量守恒定律，对其中的质量与速度研究。4.2.2模型建立与求解记V(t)：火箭飞行中的速度。m(t)：火箭的质量。u：火箭喷出的气体相对于火箭的速度(u0)0,00mV初始质量初速把火箭，喷出气体看成一系统，则系统的总动量不变。记向上为正方向得时刻时刻及考虑,ttt：）（），（为火箭相对地面速度分别ttVtV)(),(ttmtm质量分别为)()(ttmtm喷出气体的质量火箭减少的质量uVu气对火，则速度为喷出气体相对于火箭的uttVVVV)(火对地气对火气对地由动量守恒知：))())(()(()()()()(uttVttmtmttVttmtVtm)]()([)()()(tmttmtmutVttV7dttmtmudttV)(')()('0tttdttmtmudttV00)(')()('CmtmutVo]ln)([ln0)(当t=0时，因为V（0）=0，则C=00,)(ln)(ln000ttmmutmmuVtV）（度的固定条件下，火箭速，初始质量为它表示初速为00m。及质量比取决于喷射速度)()(0tmmutV分析：改变推进剂所提供的速度也是提高末速度的一个因素。但和航天飞机类似的火箭，排气速度u=3km/s。受技术条件制约，改变推进剂很难，因而提高质量比成为提高速度的关键。4.3【模型三】4.3.1模型分析在模型二的分析下，知提高末速度的关键在于提高初末质量比，由材料及所查资料分析，火箭质量的组成：有效载荷（卫星）pm，燃料fm，结构（外壳，燃料仓等）sm。其中sm在sm+fm中的比例记为，一般不小于10%。4.3.2模型建立与求解在单级火箭发射过程中燃料质量fm(t)是递减的,卫星与火箭分离瞬间的剩余质量为pm+sm。spsfpspmmmmmummmuVlnln08由由于载荷质量pm固定，提高质量比)(0tmm相当于减少比值fssmmmfsssfpmmmmmmm0)(0psmmmpmmmuV)1(ln00代入得，当pm=0时，即空载（火箭不带卫星时），火箭达到的最大速度skmVskmum/7%10,/3，则故当我们知道第一宇宙速度为skmgR/919.7，则此火箭肯定不能脱离地球即也不能到达任务轨道，究其原因，火箭躯体这样大的无效载荷在发射过程中要浪费掉大量燃料，效率低下。4.3.3模型改进既然无效载荷浪费燃料，提高末速度扔掉无效载荷便可。假设火箭燃料燃烧同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和1的比例同时减少。1)()()()(ttmtmttmtmffss即其中)()(ttmtmff为火箭喷出的气体质量，速度为uttV）（)()(ttmtmss为丢弃的结构部分，速度与火箭相同为)ttV（由动量守恒知：)()]()([])([)]()([)()()()(ttVttmtmuttVttmtmttVttmtVtmssff)]()([)]()()[(ttmtmutVttVtmff9)]()([11)]()()[11()()()()()()(ttmtmttmtmttmtmttmtmttmtmffffffss又)]()()[1()()(ttmtmttmtmff)]()([)()1()(ttmtmtmutVttV）（代入得，dttmtmudttV)(')()1()('0tttdttmtmudttV00)(')()1()('CmtmutV0)(ln)1()(当t=0时，因为V（0）=0，则C=00,)(ln)1(0ttmmutV）（设在T时燃料用尽，mf(T)=01)()()()(TmtmTmtmffss)(1)(,)()()(tmtmtmtmtmsfsfs则由代入上式，ms(T)=0即结构与燃料都消耗完)1ln()1(ln)1(psfpfspmmmummmmuVm则提高末速度，取决于sfmm的大小。4.4【模型四】4.4.1模型分析在当今科技下，很难让结构部分连续丢弃。现将连续问题离散化，即经过一段时间后，丢弃无用的部分。我们采用建造多级火箭的办法一段段的丢弃无用的结构部分。10约定：在n级火箭系统中，各级的比值何相对速度u相同。设第i及火箭质量为im，其结构质量应为im，燃料质量为im）（1，并约定载荷质量为第n+1级。则可将系统的初始质量，第i级火箭工作是的系统初始质量和剩余质量分别记为0m、iW、'iW。则计算公式如下：11110,iinikkinkkWmmWmm11)1('iiiii由刚才的结论：)(ln)(0tmmuVtV初逐级递推计算出第i级速度niWWuVViiii,...,2,1,'ln1记第i级火箭开始工作时，其初始质量与负载质量之比为常数，即)1(,1iiiittWW则1)1()1('1iiiiiiittWm从00V，可得最终速度'ln'ln'ln1121nnnnnnnnnWWuWWuVWWuVV)'ln...'(ln...110)(1)1(ln)''......ln(111常数nkckknnVttu