最新(北师大版)数学必修二优秀精品公开课课件：2.1.1直线的倾斜角和斜率

第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率问题引航1.直线倾斜角是怎么定义的？如何确定直线的倾斜角？2.直线的斜率公式是什么？斜率与倾斜角的关系如何？1.直线的倾斜角(1)两个前提：①在平面直角坐标系中；②直线l与x轴相交.(2)一个标准：把x轴(正方向)按_______方向绕着_____旋转到和直线l_____所成的角.(3)范围：______________，当直线l和x轴_____时，倾斜角为0°.逆时针交点重合0°≤α180°平行2.直线的斜率(1)概念：斜率k是直线倾斜角α的_______，通常把______叫作直线的斜率.正切值tanα(2)斜率与倾斜角对应关系：图示倾斜角(范围)α=0°0°α90°α=_____90°α180°斜率(范围)________不存在____90°k=0k0k0(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k=______.2121yyxx1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()(3)斜率公式与两点的顺序无关.()【解析】(1)错误，除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度.(2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应.倾斜角是90°的直线斜率不存在.(3)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.答案：(1)×(2)×(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________.(2)经过两点A(3，2)，B(4，7)的直线的斜率是________.(3)经过两点P(1，-4)，Q(-1，-4)的直线的斜率是______.【解析】(1)如图，若设P(1，k)，则斜率k=tan60°=.答案：(2)k==5.答案：5(3)PQ平行于x轴，倾斜角为0°，斜率为0.答案：0337243【要点探究】知识点1直线的倾斜角1.倾斜角定义中含有的三个条件(1)逆时针方向.(2)x轴的正方向.(3)旋转到与l重合所成的角.2.理解直线倾斜角应注意的几点(1)从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴正方向按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.(2)倾斜角α的取值范围是：0°≤α180°.(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.(4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.(5)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，二者缺一不可.【微思考】(1)一条直线的倾斜角为0°，这条直线一定与x轴平行吗？提示：不一定，因为此直线也可能与x轴重合.(2)一个倾斜角能确定一条直线吗？提示：不能.因为确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.【即时练】1.如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则这三个角从大到小的顺序是________(请用“”连接).2.已知直线l1的倾斜角为α1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为________.l1关于y轴对称的直线l3的倾斜角α3为________.【解析】1.由倾斜角的定义可知α3α2α1.答案：α3α2α12.如图所示，由倾斜角的定义可知α2=180°-α，α3=180°-α.答案：180°-α180°-α知识点2直线的斜率1.直线的倾斜角与斜率的关系(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映.(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k不仅可正，可零，而且可以为负.2.正确理解斜率公式应注意的事项(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°，直线与x轴垂直.(2)斜率k与P1，P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换.(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得.(4)当y1=y2，x1≠x2时，斜率k=0，直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.【知识拓展】斜率与直线的倾斜程度的对应关系(1)当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜(呈上升趋势)，直线的倾斜角为锐角，斜率随着倾斜角的增大而增大.(2)当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜(呈下降趋势)，直线的倾斜角为钝角，斜率随着倾斜角的增大而增大.(3)当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合(呈水平状态)，直线的倾斜角为0°.【微思考】(1)直线的倾斜角越大，斜率也越大？提示：不一定.直线的倾斜角在0°≤α90°时，倾斜角越大，斜率越大，斜率为正；直线的倾斜角在90°α180°时，倾斜角越大，斜率越大，斜率为负；倾斜角α=90°时，斜率不存在.(2)直线斜率的范围是R吗？提示：0°≤α90°时，直线的斜率范围为[0，+∞)；90°α180°时，直线的斜率范围为(-∞，0)；α=90°时，斜率不存在.所以直线斜率的范围是R.【即时练】若直线l的斜率k=1，则其倾斜角α等于________.【解析】如图，由k=1，则P(1，1)，可知tanα=1，所以α=45°.答案：45°【题型示范】类型一直线的倾斜角【典例1】(1)(2014·阜阳高一检测)若直线的斜率为，则直线的倾斜角为________.(2)已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，求直线l2的倾斜角.33【解题探究】1.题(1)中直线的斜率与倾斜角的关系是什么？2.题(2)中，如何确定直线l1与l2的倾斜角间的关系？【探究提示】1.直线的斜率是倾斜角的正切值.即k=tanα.2.在直线l1的倾斜角的基础上逆时针方向又旋转了120°，即得直线l2的倾斜角.【自主解答】(1)因为直线的斜率k=，所以直线的倾斜角α为锐角，则k=tanα=，所以α=30°.答案：30°(2)如图，∠BAC等于直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，所以直线l2的倾斜角为120°+α1=135°.3333【方法技巧】求直线倾斜角的方法及关注点【变式训练】一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°α90°)，则其倾斜角为________.【解析】如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°+α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°-α.答案：90°+α或90°-α【误区警示】本题容易因为考虑不全面而漏掉直线l向上方向的部分在y轴左侧的情况.【补偿训练】直线l1与l2关于y=x对称，知l1的斜率为，则l2的倾斜角为________.【解析】因为l1的斜率为，所以l1的倾斜角为60°，直线y=x为一、三象限的角平分线，倾斜角为45°，可得l2的倾斜角为30°.答案：30°33类型二直线的斜率【典例2】(1)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________.(2)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.①A(1，1)，B(-1，-2)；②A(-2，-3)，B(-2，3)；③A(2，2)，B(10，2).33【解题探究】1.直线l的倾斜角与直线l′的倾斜角有何关系？2.根据直线的斜率公式求直线斜率时，前提条件是什么？【探究提示】1.两直线的倾斜角的差为30°.2.前提条件是两点的横坐标不相等.【自主解答】(1)因为直线l的斜率k=，所以直线l的倾斜角为30°，所以直线l′的倾斜角为30°+30°=60°，所以直线l′的斜率k′=tan60°=.答案：(2)①存在，k=；②因为两点的横坐标相等，所以斜率不存在.③存在，k==0.333321311222102【延伸探究】题(2)中②两点确定的直线l绕点(-2，-3)顺时针旋转45°后到达直线l′位置，求直线l′的斜率.【解析】如图，由题(2)的②知直线l的斜率不存在，其倾斜角为90°.所以直线l′的倾斜角为90°-45°=45°.则l′的斜率为1.【方法技巧】1.求直线斜率的两种方法(1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k=tanα求得.(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k=，要注意前提条件x1≠x2.若x1=x2，则斜率不存在.当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率.2121yyxx2.倾斜角与斜率的变化关系当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到趋近于+∞.按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小到趋近于-∞.【变式训练】(2014·蚌埠高一检测)已知点A(2，4)，B(3，2)，点P(x，y)是线段上的任意一点，试问是否存在最大值与最小值？若存在，求出其最大值或最小值.【解题指南】注意到即为，其几何意义是点P与原点连线的斜率，数形结合可得.yxyxy0x0【解析】存在.因为表示点P与原点连线的斜率，当点P在线段AB上变化时，直线OP的斜率k=也随之变化，所以如图，直线OP的范围是由直线OB的位置绕原点O沿逆时针方向旋转到OA的位置，因为所以≤k≤2.所以的最大值为2，最小值为.yy0xx0yxOAOB42k2k.23，23yx23【补偿训练】(2014·泰安高一检测)经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于，则m的值是()A.4B.3C.1或3D.1或4【解析】选B.由条件知.解得m=3.5m12m22＝12【拓展类型】直线的倾斜角与斜率的综合应用【备选例题】(1)若三点A(2，-3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k=________.(2)已知A(-3，-5)，B(1，3)，C(5，11)三点，证明这三点共线.【解析】（1）因为A，B，C在同一条直线上，所以kAB＝kBC，所以解得k＝6.答案：6(2)因为所以kAB=kBC，又因为直线AB，BC都过点B，所以A，B，C三点共线.33k3.4254ABBC35113k2k2.1351，【方法技巧】1.三点共线问题的证明(1)用斜率法证明三点共线问题(2)三点共线问题也可利用线段长度之间的关系来证明，即若|AB|+|BC|=|AC|，则可判定A，B，C三点共线.2.直线斜率与倾斜角的关系(1)两者都是刻画直线“陡”“缓”程度的量.倾斜角是从图形的角度来刻画的，而斜率是从数的角度来刻画的.(2)当直线倾斜角α=90°时，斜率不存在；当直线倾斜角α≠90°时，斜率k=tanα.【易错误区】对直线倾斜角与斜率关系理解不清而致错【典例】(2014·咸阳高一检测)已知直线l过点P(-1，2)，且与以A(-2，-3)，B(3，0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________.【解析】如图所示，直线PA的斜率直线PB的斜率当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角逐渐增大到90°，所以它的斜率变化范围是［5，+∞）①；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的倾斜角从90°增大到PB的倾斜角，所以它的斜率的变化范围是（-∞，-]②，故直线l的斜率的取值范围是(-∞，-]∪［5，+∞).答案：(-∞，-]∪［5，+∞)PA23k512，PB021k.312121212【常见误区】错解错因剖析[5，+∞)因为对斜率范围理解不清而考虑不全在①结束解答.混淆了①②处直线旋转时斜率随倾斜角的变化而变化的情况而致错.1[5]2，【防范措施】1.正确理解直线倾斜角与斜率的关系求斜率范围问题时，一定要