2017年考研数学一真题与解析

12017年考研数学一真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（A）12ab（B）12ab（C）0ab（D）2ab【详解】00011cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，0lim()(0)xfxbf，要使函数在0x处连续，必须满足1122baba．所以应该选（A）2．设函数()fx是可导函数，且满足()()0fxfx，则（A）(1)(1)ff（B）11()()ff（C）11()()ff（D）11()()ff【详解】设2()(())gxfx，则()2()()0gxfxfx，也就是2()fx是单调增加函数．也就得到22(1)(1)(1)(1)ffff，所以应该选（C）3．函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n的方向导数为（A）12（B）6(C）4（D）2【详解】22,,2fffxyxzxyz，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为4,1,0gradf，所以22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n的方向导数为014,1,0(1,2,2)23fgradfnn应该选（D）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()vvt（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()vvt（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t，则（）（A）010t（B）01520t（C）025t（D）025t【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线2运动的速度函数时，21()()TTStvtdt表示时刻12,TT内所走的路程．本题中的阴影面积123,,SSS分别表示在时间段0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t时乙追上甲，应该选（C）．5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（A）TE不可逆（B）TE不可逆（C）2TE不可逆（D）2TE不可逆【详解】矩阵T的特征值为1和1n个0，从而,,2,2TTTTEEEE的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1；3,1,1,,1．显然只有TE存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）．6．已知矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）,AC相似，,BC相似（B）,AC相似，,BC不相似（C）,AC不相似，,BC相似（D）,AC不相似，,BC不相似【详解】矩阵,AB的特征值都是1232,1．是否可对解化，只需要关心2的情况．对于矩阵A，0002001001EA，秩等于1，也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~AC．对于矩阵B，0102000001EB，秩等于2，也就是矩阵A属于特征值2只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,BC不相似故选择（B）．7．设,AB是两个随机事件，若0()1PA，0()1PB，则(/)(/)PABPAB的充分必要条件是（A）(/)(/)PBAPBA（B）(/)(/)PBAPBA（C）(/)(/)PBAPBA（D）(/)(/)PBAPBA【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)PABPBPABPABPBPAB可得下面结论：3()()()()(/)(/)()()()()1()()PABPABPAPABPABPABPABPAPBPBPBPB类似，由()()(/),()()(/)PABPAPBAPABPAPBA可得()()()()(/)(/)()()()()1()()PABPABPBPABPBAPBAPABPAPBPAPAPA所以可知选择（A）．8．设12,,,(2)nXXXn为来自正态总体(,1)N的简单随机样本，若11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）（A）21()niiX服从2分布（B）212nXX服从2分布（C）21()niiXX服从2分布（D）2()nX服从2分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,iiXNXin且相互独立，所以21()niiX服从2()n分布，也就是（A）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)niinSXXnSn，所以（C）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)XNnXNnXn，所以（D）结论也是正确的；（4）对于选项（B）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22nnnXXXXNNXX，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．已知函数21()1fxx，则(3)(0)f．解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!nnnffxxn，知()(0)!nnfna，其中na为展开式中nx的系数．由于24221()1(1),1,11nnfxxxxxx，所以(3)(0)0f．10．微分方程230yyy的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230rr有一对共共轭的根412ri，所以通解为12(cos2sin2)xyeCxCx11．若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22(,)|1Dxyxy内与路径无关，则a.【详解】设2222(,),(,)11xayPxyQxyxyxy，显然(,),(,)PxyQxy在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1QPaxy12．幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)nnnnnnnnnxnxxxxx所以21(),(1,1)(1)sxxx13．设矩阵101112011A，123,,为线性无关的三维列向量，则向量组123,,AAA的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A，知矩阵A的秩为2，由于123,,为线性无关，所以向量组123,,AAA的秩为2．14．设随机变量X的分布函数4()0.5()0.52xFxx，其中()x为标准正态分布函数，则EX．【详解】随机变量X的概率密度为4()()0.5()0.25()2xfxFxx，所以4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2xEXxfxdxxxdxxdxxxdxttdttdt三、解答题15．（本题满分10分）5设函数(,)fuv具有二阶连续偏导数，(,cos)xyfex，求0|xdydx，202|xdydx．【详解】12(,cos)(,cos)(sin)xxxdyfexefexxdx，01|(1,1)xdyfdx；2111122222122(,cos)((,cos)sin(,cos))cos(,cos)sin(,cos)sin(,cos)xxxxxxxxxxdyefexefexexfexxfexdxxefexxfex2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xdyfffdx．16．（本题满分10分）求21limln1nnkkknn【详解】由定积分的定义120111201limln1limln1ln(1)11ln(1)24nnnnkkkkkkxxdxnnnnnxdx17．（本题满分10分）已知函数()yx是由方程333320xyxy．【详解】在方程两边同时对x求导，得2233330xyyy（1）在（1）两边同时对x求导，得2222()0xyyyyy也就是222(())1xyyyy令0y，得1x．当11x时，11y；当21x时，20y当11x时，0y，10y，函数()yyx取极大值11y；当21x时，0y，10y函数()yyx取极小值20y．18．（本题满分10分）设函数()fx在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0()lim0xfxx，证明：6（1）方程()0fx在区间0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0fxfxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim0xfxx可知，存在01，及1(0,)x，使得1()0fx，由于()fx在1,1x上连续，且1()(1)0fxf，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x，使得()0f，也就是方程()0fx在区间0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim0xfxx可知(0)0f，由（1）可知()0f，由洛尔定理，存在(0,)，使得()0f；设()()()Fxfxfx，由条件可知()Fx在区间0,1上可导，且(0)0,()0,()0FFF，分别在区间0,,,上对函数()Fx使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),使得1212,()()0FF，也就是方程2()()(())0fxfxfx在区间0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10分）设薄片型S是圆锥面22zxy被柱面22zx所割下的有限部分，其上任一点的密度为2229xyz，记圆锥面与柱面的交线为C．（1）求C在xOy布上的投影曲线的方程；（2）求S的质量.M【详解】（1）交线C的方程为2222zxyzx，消去变量z，得到222xyx．所以C在xOy布上的投影曲线的方程为222.0xyxz（2）利用第一类曲面积分，得222222222222222222222(,,)9911864SSxyxxyxMxyzdSxyzdSxyxyxydxdyxyxyxydxdy20．（本题满分11分）7设三阶矩阵123,,A有三个不同的特征值，且3122.（1）证明：()2rA；（2）若123,，求方程组Ax的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A是非零矩阵，也就是()1rA．假若()1rA时，则0r是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2rA，又因为31220，也就是123,,线性相关，()3rA，也就只有()2rA．（2）因为()2rA，所以0Ax的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220