2017年考研数学一真题及答案解析

12017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（）11()22()02AabBabCabDab【答案】A【解析】0011cos12limlim,()2xxxxfxaxaxa在0x处连续11.22baba选A.（2）设函数()fx可导，且'()()0fxfx，则（）()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)AffBffCffDff【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0fxfxfxfx或()0(2)'()0fxfx，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。（3）函数22(,,)fxyzxyz在点(1,2,0)处沿向量1,2,2u的方向导数为（）()12()6()4()2ABCD【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,}2.|u|333fugradfxyxzgradfgradfu选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()vvt（单2位：/ms），虚线表示乙的速度曲线2()vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）051015202530()ts(/)vms10200000()10()1520()25()25AtBtCtDt【答案】B【解析】从0到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要追上甲，则0210(t)v(t)10tvdt，当025t时满足，故选C.（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）()()22TTTTAEBECEDE不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0TE得()0TEx有非零解，故0TE。即TE不可逆。选项B,由()1Tr得T的特征值为n-1个0，1.故TE的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。（6）设矩阵200210100021,020,020001001002ABC,则（）(),,(),,AACBCBACBCCACBCDACBC与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似【答案】B3【解析】由()0EA可知A的特征值为2,2,1因为3(2)1rEA，∴A可相似对角化，且100~020002A由0EB可知B特征值为2,2,1.因为3(2)2rEB，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴~AC，且B不相似于C（7）设,AB为随机概率，若0()1,0()1PAPB，则()()PABPAB的充分必要条件是（）()()()()()()()()()()()()APBAPBABPBAPBACPBAPBADPBAPBA【答案】A【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。（8）设12,(2)nXXXn为来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（）22221122221()()2()()()()nininiiAXBXXCXXDnX服从分布服从分布服从分布服从分布【答案】B【解析】221222122221(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C1~(,),()(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B2iniiniinXNXNXnAnSXXnXNnXNnXDnXXN正确，正确，正确,故错误.4由于找不正确的结论，故B符合题意。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)已知函数21()1fxx，则(3)(0)f=__________【答案】(0)6f【解析】222200'''23'''211()()(1)11()()(1)2(21)(22)(0)0nnnnnnnnfxxxxxfxnnnxf(10)微分方程'''230yyy的通解为y_________【答案】12(cos2sin2)xyecxcx，（12,cc为任意常数）【解析】齐次特征方程为21,223012i故通解为12(cos2sin2)xecxcx(11)若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22(,)|1Dxyxy内与路径无关，则a__________【答案】1a【解析】22222222,,(1)(1)PxyQaxyyxyxxy由积分与路径无关知1PQayx(12)幂级数111(1)nnnnx在区间(1,1)内的和函数()Sx________【答案】21()1sxx【解析】''1112111(1)(1)1(1)nnnnnnxnxxxx（13）设矩阵101112011A，123,,为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,AAA的秩为5_________【答案】2【解析】由123,,线性无关，可知矩阵123,,可逆，故123123,,,,rAAArArA再由2rA得123,,2rAAA（14）设随机变量X的分布函数为4()0.5()0.5()2xFxx，其中()x为标准正态分布函数，则EX_________【答案】2【解析】0.54()0.5()()22xFxx，故0.540.5()()22xEXxxdxxdx()0xxdxEX。令42xt，则4()2xxdx=242()814()8ttdtttdt因此()2EX.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设函数(,)fuv具有2阶连续偏导数，(,cos)xyfex，求0xdydx，220xdydx【答案】2'''111200(1,1),(1,1),xxdydyffdxdx【解析】0'''''12121002''2''''''2''111221221222''''111220(,cos)(0)(1,1)sin(1,1)1(1,1)0(1,1)(sin)(sin)sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxyfexyfdyfefxfffdxdyfefexfexfxfefxdxdyfffdx结论：'102''''111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxdyfffdx6（16）（本题满分10分）求21limln1nnkkknn【答案】14【解析】211122102000111111limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1))2214nnkkkxxxdxxdxxxdxnnx（17）（本题满分10分）已知函数()yx由方程333320xyxy确定，求()yx的极值【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y【解析】两边求导得：2233'33'0xyyy（1）令'0y得1x对（1）式两边关于x求导得2266'3''3''0xyyyyy（2）将1x代入原题给的等式中，得1110xxoryy，将1,1xy代入（2）得''(1)10y将1,0xy代入（2）得''(1)20y故1x为极大值点，(1)1y；1x为极小值点，(1)0y（18）（本题满分10分）设函数()fx在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim0xfxfx，证明：()方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根；()方程2''()()(())0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】（I）()fx二阶导数，0()(1)0,lim0xfxfx7解：1）由于0()lim0xfxx，根据极限的保号性得0,(0,)x有()0fxx，即()0fx进而0(0,)0xf有又由于()fx二阶可导，所以()fx在[0,1]上必连续那么()fx在[,1]上连续，由()0,(1)0ff根据零点定理得：至少存在一点(,1)，使()0f，即得证（II）由（1）可知(0)0f，(0,1),()0f使，令()()'()Fxfxfx，则(0)()0ff由罗尔定理(0,),'()0f使，则(0)()()0FFF，对()Fx在(0,),(,)分别使用罗尔定理：12(0,),(,)且1212,(0,1),，使得12'()'()0FF，即2'()()''()'()0Fxfxfxfx在(0,1)至少有两个不同实根。得证。（19）（本题满分10分）设薄片型物体S是圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分，其上任一点的密度为2229xyz。记圆锥面与柱面的交线为C()求C在xOy平面上的投影曲线的方程；()求S的M质量。【答案】64【解析】（1）由题设条件知，C的方程为2222222zxyxyxzx则C在xoy平面的方程为2220xyxz（2）82222222:22cos2202(x,y,z)99221864ssDxyxmdSxyzdSxydxdydrdr（20）（本题满分11分）设3阶矩阵123,,A有3个不同的特征值，且3122。()证明()2rA；()若123，求方程组Ax的通解。【答案】（I）略；（II）通解为1121,11kkR【解析】（I）证明：由3122可得12320，即123,,线性相关，因此，1230A，即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00∴()()2rAr（II）由（1）()2rA，知3()1rA，即0Ax的基础解系只有1个解向量，由12320可得12311,,22011A，则0Ax的基础解系为121，又123，即12311,,1111A，则Ax的一个特解为111，综上，Ax的通解为1121,11kkR9（21