模糊聚类分析

模糊聚类分析§1模糊矩阵定义1设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.定义2设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，相等：A=Baij=bij；包含：A≤Baij≤bij；并：A∪B=(aij∨bij)m×n；交：A∩B=(aij∧bij)m×n；余：Ac=(1-aij)m×n.模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪O=A，A∩O=O；A∪E=E，A∩E=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc.1...11...1E模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂设A=(aik)m×s，B=(bkj)s×n，定义模糊矩阵A与B的合成为：A°B=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=A°A，A3=A2°A，…，Ak=Ak-1°A.7.04.03.03.07.04.03.01.07.04.03.03.07.04.03.01.03合成(°)运算的性质：性质1：(A°B)°C=A°(B°C)；性质2：Ak°Al=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°(B∪C)=(A°B)∪(A°C)；(B∪C)°A=(B°A)∪(C°A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤DA°C≤B°D.注：合成(°)运算关于(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°C(A°C)∩(B°C)2.03.01.05.0,2.03.01.02.0,1.02.03.01.0CBA2.03.01.05.0,2.03.01.02.0,1.02.03.01.0CBA(A∩B)°C1.02.01.01.02.03.01.05.01.02.01.01.0(A°C)∩(B°C)1.02.01.02.02.03.01.02.01.02.02.03.0(A∩B)°C(A°C)∩(B°C)模糊矩阵的转置定义设A=(aij)m×n,称AT=(aijT)n×m为A的转置矩阵，其中aijT=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T=A；性质2：(A∪B)T=AT∪BT，(A∩B)T=AT∩BT；性质3：(A°B)T=BT°AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤BAT≤BT.证明性质3：(A°B)T=BT°AT；(An)T=(AT)n.证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,记(A°B)T=(cijT)n×m,AT=(aijT)s×m,BT=(bijT)n×s,由转置的定义知,cijT=cji,aijT=aji,bijT=bji.BT°AT=[∨(bikT∧akjT)]n×m=[∨(bki∧ajk)]n×m=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m=(cijT)n×m=(A°B)T.模糊矩阵的-截矩阵定义7设A=(aij)m×n,对任意的∈[0,1]，称A=(aij())m×n,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中当aij≥时，aij()=1；当aij＜时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩阵.1110110010110011,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.013.0AA对任意的∈[0,1]，有性质1：A≤BA≤B；性质2：(A∪B)=A∪B，(A∩B)=A∩B；性质3：(A°B)=A°B；性质4：(AT)=(A)T.下面证明性质1：A≤BA≤B和性质3.性质1的证明：A≤Baij≤bij；当≤aij≤bij时，aij()=bij()=1；当aij＜≤bij时，aij()=0,bij()=1；当aij≤bij＜时，aij()=bij()=0；综上所述aij()≤bij()时，故A≤B.性质3的证明：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij()=1cij≥∨(aik∧bkj)≥k,(aik∧bkj)≥k,aik≥,bkj≥k,aik()=bkj()=1∨(aik()∧bkj())=1cij()=0cij＜∨(aik∧bkj)＜k,(aik∧bkj)＜k,aik＜或bkj＜k,aik()=0或bkj()=0∨(aik()∧bkj())=0所以,cij()=∨(aik()∧bkj()).(A°B)=A°B.§2.2模糊关系与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.设有论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.模糊子集R的隶属函数为映射R:XY[0,1].并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度.特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.模糊关系的运算由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1R2R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2的隶属函数为(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隶属函数为(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.模糊关系的矩阵表示对于有限论域X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y模糊关系R可用m×n阶模糊矩阵表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊关系的合成设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1°R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊关系合成运算的性质性质1：(A°B)°C=A°(B°C)；性质2：A°(B∪C)=(A°B)∪(A°C)；(B∪C)°A=(B°A)∪(C°A)；性质3：(A°B)T=BT°AT；性质4：AB，CDA°CB°D.注：(1)合成(°)运算关于(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°C(A°C)∩(B°C)(2)这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.§2.3模糊等价矩阵模糊等价关系若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时,X上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：I≤R(rii=1)RT=R(rij=rji)R2≤R.R2≤R(∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).模糊等价矩阵的基本定理定理1若R具有自反性(I≤R)和传递性(R2≤R),则R2=R.定理2若R是模糊等价矩阵,则对任意∈[0,1]，R是等价的Boole矩阵.∈[0,1]，A≤BA≤B；(A°B)=A°B；(AT)=(A)T证明如下：(1)自反性：I≤R∈[0,1]，I≤R∈[0,1]，I≤R，即R具有自反性；(2)对称性：RT=R(RT)=R(R)T=R，即R具有对称性；(3)传递性：R2≤R(R)2≤R，即R具有传递性.定理3若R是模糊等价矩阵,则对任意的0≤＜≤1,R所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.证明：对于论域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R分在一类，则有rij()=1rij≥rij≥rij()=1，即若xi,xj按R也分在一类.所以，R所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.模糊相似关系若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时，X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵，即R满足：(1)自反性：I≤R(rii=1)；(2)对称性：RT=R(rij=rji).模糊相似矩阵的性质定理1若R是模糊相似矩阵，则对任意的自然数k，Rk也是模糊相似矩阵.定理2若R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，对于一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包，记作t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包t(R)：RR2R4R8R16…§2.4模糊聚类分析模糊聚类分析步骤：1、设论域（订定样本）；2、定模糊关系矩阵。（求相似关系矩阵，其应符合自反性及对称性）3、求模糊等价关系矩阵。（即自乘得传递闭包，直到R2k=Rk为止，则便是一个模糊等价关系矩阵）4、求Rλ并进行聚类。（0＜λ≦1）5、绘制动态聚类图。一、数据标准化设论域X={x1,x2,…,xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始数据矩阵为nmnnmmxxxxxxxxx.....................212222111211平移•标准差变换),...,2,1,,...,2,1(mjnisxxxjjijij其中nijijjniijjxxnsxnx121)(1,1平移•极差变换}1|min{}1|max{}1|min{nixnixnixxxi