人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系

1人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系摘要：本文通过分析人在雨中奔跑的速度与淋雨量之间存在的关联，针对不同的降雨方向，将人简化为长方体模型，建立了奔跑速度与总淋雨量的优化模型。针对问题一，假设雨水淋遍全身且不考虑雨的方向，通过简单的模型分析得到跑完全程的总淋雨量。针对问题二，考虑雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向雨速和水平方向雨相对于人的速度，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数的单调性分析，得知总淋雨量最少时奔跑速度最大。针对问题三，考虑雨从后面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直平面，通过分析淋雨部位、竖直方向速度和水平方向上的相对速度，针对不同情况，建立了总淋雨量的模型，又对模型进行了函数单调性的分析讨论，得出了总淋雨量最少时的奔跑速度。针对问题五，针对雨线方向与跑步方向不在同一平面内的情况，对雨速进行空间直角坐标分解，结合问题三，分析模型发生的变化。关键词：跑步速度；总淋雨量；相对速度；单调性分析；矢量分解2一、问题重述对于行人来说，下雨天最糟糕的情况莫过于出门在外雨伞没带。在这种情况下，人们习惯用快跑来摆脱困境。归根结底，“跑得越快淋雨就越少”的观点只是一种感性认识。因此，考虑通过建模来科学分析两者之间的关系。对于下列四个问题，分别给出奔跑速度与淋雨量之间的定性分析。问题1：在不考虑雨线方向的情况下，计算以最大速度跑完全程的淋雨量。问题2：考虑雨从迎面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为。建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。问题3：考虑雨从背面打来，且与跑步方向在同一铅直面上，雨线与人体的夹角为。建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而求总淋雨量最少时的速度。问题5：考虑雨线方向与跑步不在同一铅直面上时，模型的变化。二、问题分析问题1，将人简化为长方体模型，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，分析人的淋雨面积共五个面分别为前面、背部、顶部、左侧面和右侧面。在雨速为常数且方向不变情况下，可以根据人的最大奔跑速度和路程来求出时间；若测得单位时间，单位面积的降雨量，可以求出总淋雨量。问题2，雨从迎面打来，雨线方向与奔跑方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为，雨速为常数且方向不变，可以将雨速正交分解为水平方向和竖直方向，由此分析可知淋雨部位为前面和顶部。另外，雨迎面打来，雨相对于人的速度会发生变化，查阅资料可以知道降雨强度与雨的空间密度以及雨速有关。故通过关系式表示出雨的相对速度后，可以进一步表示出降雨强度（单位时间段内的降雨量），时间则可以用路程与人的速度相比得出。将时间、淋雨面积、降雨强度与总淋雨量关系表示出来，即可建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而分析求解出总淋雨量最少时的奔跑速度。问题3，雨从背面打来，雨线方向与跑步方向在同一铅直面内，且与人体的夹角为，同问题2一样进行分析，忽略次要因素，分析得知淋雨面积为背部和顶部。另外，由于雨线方向与问题2不同，以奔跑速度和雨速在水平方向上的分量大小分类讨论，时间仍由路程与奔跑速度之比表示，由此表示出时间、淋雨面积、降雨强度与淋雨量之间的关系，建立总淋雨量与奔跑速度的模型，进而讨论分析出总淋雨量最少时的奔跑速度。问题5，若雨线方向与奔跑方向，不在同一平面内，可以建立空间直角坐标系，将雨速进行空间分解，分析可知淋雨部位，与问题3中的模型进行分析比较，可知模型变化。三、模型假设.1把人简化为一个长方体。.2雨速对人的奔跑速度的影响忽略不计。.3若长方体表面与雨速平行，假定不沾雨。.4人的奔跑速度恒定。.5降雨速度与强度不变。.6风速始终不变。3cabθvu图1四、符号表示a人体身高b人体宽度c人体厚度d跑步距离maxv跑步最大速度u雨速I降雨强度降雨量v跑步速度同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角t全过程所花费的时间S面积Q淋雨量p在一定时刻单位体积空间内雨滴所占的空间比例数五、模型建立与求解5．1问题1的模型建立与求解设长方体模型作为人的简化模型。全身面积：bcacabS)(2淋雨量：maxmax)(2vbcacabdvdSQ5．2问题2的模型建立与求解图1为问题2的示意图。4迎面淋雨量：vvuabdpQ)sin(1其中)sin(vupI顶部淋雨量：vbcdpuQcos2其中cospuI淋雨量：avcaubdpvcuvuabdpQQQ)cossin(cos)sin(21（1）模型（1）连续变化，通过单调性分析，可知模型（1）是Q关于v的单调递减函数，故当人的奔跑速度达到最大时，总淋雨量最少。5．3问题3的模型建立与求解图2为问题3的示意图。背面淋雨量：vvuabdpQ)sin(3其中)sin(vupI顶部淋雨量：vbcdpuQcos2其中cospuI当vusin时淋雨量：cabvuα图25vvuacubdpQQQ)sin(cos32（2）模型（2）连续变化，通过单调性分析，模型（2）是Q关于v的单调递减函数，故当人的奔跑速度达到最大时，总淋雨量最少。当vusin时背面淋雨量：vuvabdpQ)sin(`3顶部淋雨量：vbcdpuQcos`2淋雨量：avacubdpvuvacubdpQQQ)sincos()sin(cos`3`2（3）当0sincosac时，人奔跑的速度越大，总淋雨量越小。人的奔跑速度最大时，总淋雨量最少。当0sincosac时，人奔跑的速度越小，总淋雨量越小。sinuv时，总淋雨量最少。5．4问题5的模型建立与求解图3为问题5的示意图。如图3所示，建立空间直角坐标系，将与跑步速度方向不在同一平面内的雨速分解，分析雨速u在zyx,,轴上的分量，可知淋雨部位包括侧面，背面和顶部，图3xcab前面侧面yzuO6与模型)2(、)3(相比，多考虑了侧面，由此可知，若雨线方向与奔跑方向不在同一平面内，要多考虑侧面，另外雨相对于人的速度会发生变化，需要分类讨论，但问题的性质没有变。六、模型结果的分析与检验在不考虑雨的方向的情况下，奔跑速度越快，总淋雨量越小。当雨从迎面打来时，奔跑速度越快，总淋雨量越小。当雨从背面打来时，奔跑速度与总淋雨量的关系与参量的大小有关。由以上结果可知，并不是奔跑速度越大淋雨量越小，淋雨量的大小与奔跑速度以及雨下落的方向有关。查阅资料可以得到参数具体数值的一组数据如下：41001039.142.05.07.16mdpsmumcmbma通过MATLAB进行简单数值运算和函数单调性分析，得到当smuv828.2sin时，总淋雨量最小值为L13.0，经检验符合实际情况。七、模型评价与推广优点：.1模型结果的分析较易实现，不涉及复杂的编程运算。.2模型简单易懂，便于计算和操作，实用性强。缺点：.1为了简化模型，忽略了一些影响因素。.2降雨强度的测定会有误差。该模型可以推广应用于估算总淋雨量(可以根据降雨强度等级划分标准找出降雨强度的估测值代入模型中)，还可应用于确定火车、汽车、公交车等交通工具在雨中行驶的速度，以减少淋雨对车身的破坏。该模型没有考虑人的奔跑速度是变化的情况，在改进模型的过程中可以假设雨速会适当延缓人的奔跑速度，奔跑速度为雨速和时间的函数，结合原模型的推导过程，得到改进后的模型。参考文献1姜启源,数学模型（第三版）[M],北京：高等教育出版社，1999。