数学建模---彩票中的数学(建模论文)

彩票中的数学【摘要】本模型讨论的是如何评判传统型彩票和乐透型彩票的一般评奖方案的合理性问题。本文首先根据彩票中奖规则，利用古典概率求出了这两种类型彩票的各种奖项出现的可能性。把每注彩票中奖与否看成贝努利试验，得到当期销售的n注彩票内中第i项奖的注数i服从二项分布。在假设每期彩票的销售量足够多的前提下，由贝努利大数定律归结为正态分布，从而求出了每注彩票的平均收益率。在此基础上，结合公平尺度，利用彩民的博彩心理变化构造了评判方案合理性的判别函数，利用MATLAB6.1软件编程计算，判别出题目所给方案的奖金设置的优劣。并且利用这个判别函数，我们建立了求解最优方案的非线形规划模型。通过求解所建立的模型，找到在给定的彩票销售注数下最优方案，极其奖项和奖金额的设置。本模型可操作性强，它使彩票运作有章可循，在今后类似活动中有科学的指导作用。〖关键词〗彩票二项分布期望收益率博彩心理判别函数一、问题的重述近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。表一中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXxcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二注：●为选中的基本号码；★为选中的特别号码；○为未选中的号码。以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例表三序号方案奖项一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%10001001005227/3580%10%10%20050205237/35100%20%20%42246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%2%20%30030（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。二、模型的假设及符号说明2．1模型的假设（1）设彩票定期开奖，本文只考虑一期的奖项;（2）每注彩票只兑付最高奖级奖金，不可兼得。（3）假设彩票的规则是以公正公平为原则；（4）假设彩票的发行费用不计，彩票总奖金比例一般为销售总金额的50%；（5）假设彩票的宣传工作做得很到位，在某一区域，一段时期内潜在的购买力是固定的；（6）假设高项奖按给定的百分比分配，且按当期各奖项实际中奖注数平均分配该奖项奖金；（7）假设彩民大都具有博彩心理。2．2符号说明(1)i：表示i(1,2,3)i等奖是否被取走，0i表示i等奖没被取走，1i表示i等奖被取走；(2)1,2,,7kk：表示第k等奖中奖注数；(3):(1,2,3)iXi表示第i等奖的奖金额；(4)n：表示当期已售出的彩票注数；(5)：表示取走的奖金额3714iikkikxx；(6)En：表示一注中奖彩票被取走的奖金比率，即单注彩票的平均收益率；(7)iP：表示第i等奖的中奖概率(1,2,,7)i；(8)1,2,3iri：表示第i等奖奖金分配的百分比；(9)(1,2,7)ixi：表示每注彩票中第i项奖的奖金额；(10)()wt:表示博彩心理函数；(11)s：表示低项奖奖额在总奖金中所占的比例；(12)f：判别方案合理性的判别函数。三、问题的分析3.1求两种类型彩票每注中各奖项的概率首先，对某一方案而言，每注彩票中各等奖的概率是可求的，分别用127,,,PPP来表示中一等奖到七等奖的概率。由古典概率问题求得传统型和乐透型概率如下(共可分为4类)：（1）传统型（10选6+1）1P=615102P=78103P=618104P=6261105P=5342106P=4419.9510（2）乐透型(N选M)1P=1MNC2P=1MMMNCC3P=111MMNMMNCCC4P=211MMNMMNCCC5P=221MMNMMNCCC6P=321MMNMMNCCC7P=331MMNMMNCCC（3）乐透型（N选M+1）1P=11MNC2P=111MMNMMNCCC3P=1111MMNMMNCCC4P=1211MMNMMNCCC5P=2211MMNMMNCCC6P=2311MMNMMNCCC7P=3311MMNMMNCCC（4）无特殊号型(N选M)1P=1MNC2P=11MMNMMNCCC3P=22MMNMMNCCC4P=33MMNMMNCCC5P=44MMNMMNCCC所给的29种方案可归纳为15类，利用上述公式对不同的M和N，具体概率值计算见附录中的程序（一）3.2设当期销售n注彩票，研究每注彩票的收益率由于当期彩票的总奖金与售出彩票注数n有关，我们取不同的n值来研究方案的合理性。因为单注彩票中第i等奖服从0-1分布，因此n注彩票中获得第i等奖的中奖注数随机变量i服从二项分布(,)ibnP，即()(1)kknkiniiPkCPP由贝努利大数定律可知，当n足够大时，i近似服从正态分布，22212xfxe其期望与方差分别为21iiiiiEnPDnPP记44556677cxxxx由i的独立性Ec4455667744556677xExExExEnPxnPxnPxnPx高项奖的第i等奖的奖金额iX由题中给出的计算方法得74(),iikkkXrnx1,2,3ii表示第i(1,2,3)i等奖是否被取走，i服从（0-1）分布，0i表示第i等奖没被取走，1i表示第i等奖被取走，其分布率为01,niiPP111niiPP若表示取走的奖金总额，则3714iikkikXx它是一个随机变量，则n可表示单注彩票的收益率。基于彩票的总奖金为销售总额的50%，单注彩票金额为2元。首先分析n的数学期望nE是否接近于1来评价彩民抽奖的收益率，这是因为表示一注彩票的平均收益金额。（1）求每注彩票的平均收益率nE假设L表示高项奖的项数，J表示总奖项数，则11LJiikkikLXx11()()LJiikkikLEXxEnn1111[()]JLJkkkkiikLikLPxEnxrn11111()[]JLLJkkiikikikLiikLPxrEExrn11111[1(1)][1(1)]JLLJnnkkiikikikLiikLPxPrnPPxrn1111[1(1)][1(1)]JLLJnnkkiikikikLiikLPxPrPPxr取100,150,200,300n万万万万，利用()En1111[1(1)]JLLJnkkiikikikLiikLPxnPrPPxr……（1）求出题目表三中29种方案，可求出不同n下每注彩票的平均收益率（见表0），从运算结果看，随着n的增大，平均收益率趋于稳定值1。表0收益分析表序号100万150万200万300万12345678910111213141516171819202122232425262728290.48520.60530.57980.54980.50830.61790.67760.54570.48090.67530.34890.42350.41200.37380.39090.41230.33320.37860.26970.45380.48290.30010.03090.47310.40430.35900.37700.17130.33570.55130.65010.62140.59240.63140.69320.69200.62490.57010.73000.44150.50300.48240.44750.45120.46940.39790.43320.32700.49120.51740.34580.07320.44830.39620.41250.25