高数数列的极限ppt

第一章二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS极限方法是微积分的基本方法典型问题2:面积问题(2500年前的古希腊,阿基米德)例1求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.(3)取Sn的极限，得曲边梯形面积：(2)以n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：xyOy=x21xi(1)用直线)1,,2,1(==ninix把曲边梯形分成n个窄条，第i个窄条的面积用高为21ni的小矩形面积nni112近似之.nniSnin1121====niin123)1(16)12()1(13=nnnn.2111131=nn==nnSSnnn2111131limlim.31=二、数列的定义定义:按正整数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn=;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn播放三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn=问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.=1nxnnn11)1(1=通过上面演示实验的观察:“无限接近”的等价含义:想要xn与1有多接近,就能有多接近.,102给定,10011n由,100n只要;1012nx就有想要|xn1|10,,104给定,1014n由,104n只要;1014nx就有想要|xn1|104,,10k给定,101kn由,10kn只要;101knx就有想要|xn1|10k,,0,给定一般地,1n由,/1n只要.1nx就有想要|xn1|,定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于Nn时的一切nx,不等式axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为,limaxnn=或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数Nx1x2x2Nx1Nx3x几何解释:2aaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N.,,0,0lim=axNnNaxnnn恒有时使数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1=nnnn证明证1nx1)1(1=nnnn1=,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[=N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1=nnnn即注意：例2.lim),(CxCCxnnn=证明为常数设证CxnCC=,成立,0任给所以,0=,n对于一切正整数.limCxnn=说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例3已知2(1),(1)nnxn={}0.nx证明数列的极限是例4.1,0lim=qqnn其中证明证,0任给,0=nnqx,lnlnqn],lnln[qN=取,时则当Nn,0nq就有.0lim=nnq,0=q若;00limlim==nnnq则,10q若,lnlnqn例5.用数列极限的定义证明证:221nn0,欲使即只要21n因此,取2[],N=则当nN时,就有221nn故2lim21nnn=机动目录上页下页返回结束例6.设1,a证明证:机动目录上页下页返回结束令10,nnxa=则(1)1nnnaxnx=1.naxn0,先考察不等式1an1an1[],aN=因此，只要取则当nN时,就有1na故例7.证明证:机动目录上页下页返回结束当2,n由22222151061||||32433(324)6nnnnnnnnnn==0,1max{2,[]},N=因此，只要取则当nN时,就有2221||3243nnnn故23ba22abnabax证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn=故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn=故存在N2,使当nN2时,有2banx使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN=取故假设不真!nx满足的不等式1、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.四、数列极限的性质2、有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切正整数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1=nnxn数列.2nnx=数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界定理2收敛的数列必定有界.说明,limaxnn=设,1=取由数列收敛的几何意义知落在(a-1,a+1)之外的只有有限项,设此有限项为.,,,21knnnxxx令}1|||,|,|,||,max{|21=axxxMknnn,,Mxnn皆有则对一切正整数.有界故nxa)1a1a(注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.证:设取,1=,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxM=a1则有.),2,1(=nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列定理2(收敛数列的有界性)那么它一定有界。{}nx如果数列收敛，例4.)1(1是发散的证明数列=nnx证,limaxnn=设由定义,,21=对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上nx3、收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)机动目录上页下页返回结束定理34、子数列的收敛性的子数列（或子列）．的一个数列称为原数列到中的先后次序，这样得这些项在原数列保持中任意抽取无限多项并定义：在数列nnnxxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.knnxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注意：例如，*********************,axkn定理4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明.limaxknk=*********************NNx机动目录上页下页返回结束由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，1lim2=kkx发散!则原数列一定发散.说明:此例也说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列.五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111===nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn=由递推式两边取极限得aa21=1=a不对!此处=nnxlim机动目录上页下页返回结束作业P311，3,4,6第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题1.设)(211nnnxaxx=),2,1(=n,0a,01x,且求.limnnx解：设Axnn=lim则由递推公式有1()2aAAA=aA=)(211nnnxaxx=nxnxaa=nnxx1)1(212nxa=)1(21aa1=∴数列单调递减有下界，,01x故axnn=lim利用极限存在准则,0nx机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.即单调增,又1(1))1()1(11kaa存在“拆项相消”法