说题活动与思考的案例分析

说题活动与思考的案例分析沈恒，浙江省湖州市第二中学（313000）.近期，刚刚参与一次说题交流，感受颇多.首先，何为说题？就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面对题目的思维过程，即“说数学思维”.这是近年来一种利用教学语言口述探寻解题的思维过程以及所采纳的数学思想方法和解题策略的新型教研活动.其作用是大大方便教师间的交流、节省大量的教学课时、理清教学的思路、提高教学的效率.笔者就本次说题活动的内容，谈些感受，希望与大家共同交流和讨论.一、题源题目：已知抛物线C：=4x,以M（1，2）为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB.（1）求证：直线AB过定点；（2）过点M作AB的垂线交AB于点N，求点N的轨迹方程.（如图1）本题考查抛物线与直线的位置关系，以及抛物线内部过定点的直线，动点的轨迹方程等基础知识，考查了数形结合思想和方程思想，一定的运算能力要求.从近年各地的高考、试题来看，圆锥曲线的定义、几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点和难点.二、说题以往说题更关注的是学生说题，如文[1]、[2]等等，本次交流活动主要是教师说题.众所周知，解数学题的本质是：要找到并且规范而简明地表述出从题目的已知条件到题目的要求目标的一系列命题转化的一条通路[3].那么，说题就是利用教学语言口述探寻解题通路的思维过程以及所采纳的数学思想方法和解题策略.通常，说题的内容涉及问题的4个方面：（一）说题意说出问题的背景，已知条件，要求目标和命题意图，并注意隐含条件.圆锥曲线的内容在近几年的高考试卷中所占比例一直稳定在15%左右，解答题侧重考查逻辑推理能力、运算能力、分析解决问题能力，常与函数、方程、向量、数列和导数相结合命题.从考查内容上看，本题涉及的内容较少，以抛物线与直线的位置关系为背景，考查动直线过定点，以及动点轨迹问题，设计到圆锥曲线一些基本知识和消参运算；从思想方法上看，本题考查了方程思想和数形结合思想，是解析几何考查中的一个重点；定点问题与轨迹问题在历年高考、竞赛中出现的频率较高，值得关注.（二）说思维说思维是指教师简述探索解题途径的思维方法和心理活动过程.探索解题途径的常用方法有以下四种：①采用化整为零，各个击破的分解策略，即将问题分解成若干个能够解答的小问题；②利用化归思想，将命题逐步转化为已经解决的问题；③采用分析综合法，将已知条件顺推，要求目标逆推，对比着寻找联结点；④运用直觉思维和灵感思维，从类似问题的解法中迁移和渗透解题思维规律，套用模式识别来解题.纵观本题，参加本次说题活动的老师给出了多种解法，自然相当了得，但笔者以为说题比赛不是纯粹的一题多解，学生在探索解题过程中能够使用的解法和构建这些解法的心理机制，更是我们说题时需要去关注的.一般，针对本题最常见的学生解题心理机制：（1）设A、B两点坐标，利用垂直关系将直线AB用点坐标表示即可；（2）考虑到直线AB斜率不为0，设直线AB方程：x=my+b，利用垂直关系和韦达定://://://理；（3）将M点看出两直线交点，利用轨迹思想，设直线MA方程：y-2=k（x-1）联立抛物线方程，用-取代k，可得直线MB与抛物线联立方程，进而求定点（5，-2）；利用（1）解题思路常规，计算量稍大，但设而不求的思想仍旧贯穿其中，其思维属于学生下意识思维；利用（2）解题为通法，属于化整为零，将问题分解到直角三角形中，利用，运用韦达定理，一步一步解决；利用（3）解题体现轨迹思想的运用，学生能用，但一般不太会用-取代k进而简化运算.综上，笔者以为说思维关键还是说清楚学生建构此类方法的心理机制.（三）说思路说出问题解决的步骤，及所用数学知识和数学思维方法，并注意是否需要讨论和检验.以本题为例，针对上述解法（2），学生最易建构的方法，说解题思路：（1）主要思想：数形结合思想、方程思想，运算中要注意“设而不求”；（2）考虑到直线AB斜率不为0，设AB直线方程为：x=my+b，联立抛物线方程运用韦达定理；（4）至于第（2）问，由第（1）问搭建的“脚手架”——顺势而行，N点的轨迹必在M点和定点（5，-2）为直径的圆上.利用直线设参m，b，联立抛物线，并结合垂直关系的向量式，适合解决一般圆锥曲线和直线位置关系的问题，具有推广性.另外，像解法（1）、（3）等思路，可以做适当引导.（四）说规律举一反三、触类旁通，从一题多解、一题多变和多题一解中渗透解题思维规律，概括出一般数学原理、教学规律，并交流心得体会.例如，问题可以变为：（1）改变M点坐标取值会产生什么样的变化？体会特殊到一般的数学思想，基本定义，通解通法的重要性.（2）将问题变为椭圆、双曲线，可以体会“形变质不变”；将M点动起来，可以体会“质变神不变”.（3）将问题的背景简化，特殊化到每个高中学生都学过的基本形式：把M点换成坐标原点，抛物线方程：=2px（p＞0），则OA⊥OB时，直线AB过定点（2p，0）.其实这才是编制此问题的题根与本质.因此，现代意义的解题教学特点：更注重解题的过程、策略以及思维品质的培养；更注重解题过程中的情感、态度、价值观，从变化中寻求不变才是教师所追求的和学生需掌握的.三、谈题笔者思考，我们可以谈谈本题的反演（图2）：如图2，将问题反演，过定点（5，-2）的动弦交抛物线于A、B两点，作MA⊥MB，则M点的轨迹是什么？显然是圆，那么该圆与抛物线的交点就是原题中的M（1，2）.若将定点（5，-2）变为抛物线的焦点，过焦点作动弦交抛物线于A'、B'，两点，过A'、B'分别作抛物线的切线，设切线交于M'，则△M'A'B'即为阿基米德三角形.容易验证三个性质：（1）M'A'⊥M'B'；（2）M'必在抛物线准线上；（3）M'F⊥A'B'.关于阿基米德三角形的性质很多，文[4]早已总结过，关于此三角形的高考试题也比较多，各省市近年均围绕阿基米德三角形进行过试题编制，值得我们对问题进行深入研究.笔者又思考，还可以谈谈本题的变式和推广：变式③：如下页图3，若以为AB直径的动圆满足交点M在圆内，可以编制与蝴蝶定理相关的线段问题；推广①：若将点M设为抛物线上任意一点，则直线AB必过定点（易证，略）；推广②：若将点M设为圆上任意一点，则直线AB必过定点（易证，略）；从这四个推广，我们还可以更清楚的认识圆锥曲线是一体的本质.回头想想人教A版的章头图，何谓“圆锥曲线”？不就是用一个截面截圆锥而成的曲线吗？为了便于学习，人为得将其分为圆、椭圆、双曲线、抛物线，其实它们本身就是一个整体！差别在于截面的角度带来的圆锥曲线的离心率的不同，但是e＞1和e＜1之间有着完美的对称，所以互相转化思考是很好的方法！四、品题在观摩本次说题的整个过程中，笔者能感受到教师们都能以课程标准的培养目标为依据来展开教学过程.如关注学生认识数学知识的发生发展的过程、关注数学思想对学生的引导、关注一题多解带来的思维发散效应、关注学生的情感态度与价值观等方面做出了积极的探索和很大的努力，这些都是很好的，但是笔者觉得在处理说题目标的具体性、适度性和恰当性上把握不够，甚至有些混乱，于是我们可以再品品本题带给我们对说题目标的一些启示.譬如：有的老师几乎就干脆将课程标准上的说法套用一下.实际上一道题的说题目标应当结合本题要学习的数学内容的特殊性，分解课程标准的总目标.也就是说，一道题的说题目标应当是具体的、恰当的，否则，笼统的、抽象的目标形同虚设.笔者以为说题目标应该分三类，以本题为例：（1）初级目标是教会学生解题的方法，主要是前文中叙述的第二种方法，对学生的知识基础、能力水平作动态的估计，将问题设置在学生思维的最近发展区，让学生经过探索后能够解决问题；（2）中级目标是在解题之后引导学生反思、变式及领会解题过程中运用的数学思想方法，如前文中叙述的其余两种优秀思路，为学生提供自主探索、合作交流和实践创新所需的时间和空间，激励学生广开思路，另辟蹊径，去探寻更好的、更一般性的解法；（3）高级目标是根据学生的生活经验和认识水平，搜集加工或自行设计编拟一批开放性问题，进而做些探究性的学习，培养学生的发散思维、求异思维、直觉思维和创新思维，同时还要注意封闭题与开放题的合理搭配，把握好归纳与演绎的度，做到收敛思维与发散思维交替运用，同化规律与顺应规律多化循环，让学生掌握数学思维的规律、特点和方法，在参与思维中发展能力，在知识、规律的探索和归纳中形成创新意识.五、尾声当前我国的数学课程改革提倡“把数学知识应用于现实生活，培养学生的创新精神与创新能力，培养学生学习数学的自信心、自觉性，关注学生的全面发展，以学生发展为本，满足学生的需求与兴趣，积极推进数学教育的人性化与人文化”.这些做法能进一步完善数学教育，提高学生的数学能力水平.不能仅仅为了实现数学教育的数学化，而忽视了人文化.从本次说题交流中，笔者发觉少数教师给出了过于偏颇的解法，太重技巧，过于形式化，明显对在课堂是否能真正实施欠考虑，没有关注学生认知水平及参与过程，这样做本末倒置，不能通过一个优秀试题使学生在数学解题能力上得到较大的发展.本次说题交流活动为教师们提供了一个观摩和交流、学习和思考的平台，让我们继续反://://://思如何通过一个典型试题，通过说题说清题意、思维、思路和规律，让教师教学水平得到进一步的发展.说题使教师站在更高的舞台来指导教学，愿这样的活动能多举办，使越来越多的数学老师从中受益.