基于出场问题的优化模型

基于出场阵容的优化模型摘要本文针对女子体操团体赛出场阵容做出了分析，通过考虑每个项目的人数、全能比赛的人数以及每个队员参赛项目，建立了不同的求解模型。问题一采用双0-1规划的方法，然后用lingo软件求解，分别求出悲观算法和均值算法下的团体总得分和对出场阵容做出了安排。问题二采用中心极限定理找出目标函数，然后建立模型，求出夺冠前景、得分期望以及能够战胜怎样的对手。对于问题一：我们定义了两个0-1变量，第一个0-1变量ijk表示第j个运动员参加第i个比赛项目，参加记为1，否则为0；第二个0-1变量ja表示第j个运动员参加全能，参加记为1，否则为0。由题目中相应的约束条件，利用整数线性规划的思想，则总分为4110141101***1Zijijjijijijjannka，运用lingo运行程序得出总得分为212.2，以上为悲观思想的团体总得分；若采用均值的思想，则将上述的ijn换为ijs，运用lingo运行程序得出总得分为225.1。对于问题二：首先我们在第一问的模型基础上，将ijn换为ijw，求出最后总体得分的上限，求得上限为236.6。将ijt进行连乘，得出夺冠的概率为0。此问巧妙的运用了中心极限定理，结合标准正态分布，将战胜怎样的选手转化为标准正态分布问题。%90XDXEbXDXEXp,此时的4110141101***1ijjijijijijjacckaX，b为战胜的那个团队的最后得分，求得b222.7429。关键字：0-1规划中心极值定理正态分布lingo一、问题分析有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；…；0.1；0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。现某代表队10名运动员参加各个项目的测试成绩及相应的概率已给出。1、每个选手的各单项得分按最悲观估算，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。2、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，为了夺冠应排出出场阵容，以该阵容出战，其夺冠的前景如何，得分前景（即期望值）又如何，它有90％的把握战胜怎样水平的对手。不论是用均值均值的思想亦或是最悲观的思想，最后总的目标都是要使团体总分最高，团体总分最高成为阵容选取的唯一目标。团体的总分来源于两个方面：全能选手的得分和单项选手的得分。每个单项选手有相应的参赛项目的上限，每个选手参加每项比赛都有相应的得分。可以通过0-1变量的定义来选取全能选手和单项选手，而对于每个不同的选取方法对应着不同的阵容。分析问题二可得最后的团体得分服从正态分布。二、模型假设1、至多10名运动员参加比赛。2、每个项目可以有6名选手参加。3、有4名运动员参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛且至多能参加三项单项。4、项目分为全能比赛（四项全参加）和单项比赛两类且每个运动员只能参加其中一类。5、参加多项比赛的选手，前一次的比赛对后一次的比赛的发挥没有影响。6、最后团体的总的得分服从正态分布。三、符号说明符号意义单位i比赛项目个j参赛运动员人ijk个项目个运动员是否参加第第ijijn个项目的最低得分个队员参加第第ijja比赛名运动员是否参加全能第jijs个比赛的平均得分个运动员参加第第ijijw个项目的最好成绩个运动员参加第第ijijt的概率个项目时取得最好成绩个运动员参加第第ij四、模型的建立与求解1、模型的建立第一问旨在让团体总得分最大，毫无疑问，应该让这十个选手都参加比赛。为了使团体总得分最大，应该安排最优秀的阵容出场。阵容包括全能参赛选手的选取和单项参赛选手的选取。而这里的阵容安排，我们通过定义两个0-1变量来选取全能选手和单项选手。第一问有两种思想，一种是利用最悲观的思想，这种做法是以最差的阵容出场，每个选手参加每项比赛的得分都是其最低的得分。第二种思想是均值思想，利用每个选手参加每项比赛的平均得分来求得目标函数。然后运用数学工具lingo来运行程序，得出阵容的安排。第二问我们先用每个运动员参加每个项目的最好成绩来算出团体最后得分的上限，团体的最后得分为随机变量，标准化之后满足正态分布。设随机变量n2121321n2121XXXDYDXXXYXX结论二：结论一：则令两两相互独立，，，nnnXEXEXEXXXXEYEX运用中心极限定理将随机变量X4110141101***1ijijiijijijiaccka转化为正态分布。决策变量：ijk表示第j个运动员参加第i个项目4,2,1;10,2,1ij，ja表示第j个运动员参加全能4,2,1i。ijk为0-1变量，当第j个运动员参加第i个项目时，记1ijk，否则为0；ja也为0-1变量，当第j个运动员参加第i个项目时，记1ja，否则为0。目标函数：4110141101***)1(minijijiijijijiannkaZ（表示团体的最后总得分最大）约束条件：首先，参加全能的运动员的人数总共为4，那么对于ja进行求和会有一个约束；10,2,1,4101jajj其次，参加单项的运动员最多能参加3个项目，这里对每个单项运动参加的比赛项目也有一个比赛项目的总和上限；31*41ijijak最后，每个比赛项目只能有6个运动员参加，而所选出的全能运动员每个比赛项目都会参加，本题要求选出4个全能运动员，那么这就表示每个项目已经有四个全能运动员参加，此时每个比赛项目就只能有2个单项选手参加。21*101jjijak综上所述，可以建立如下的阵容安排模型：4110141101***1maxijiijijijijjannkaZ101411014,,2,1,21*10,,2,1,31*10,,2,1,4.jjijijijjjiakjakjats第一问的第二种方法就是将目标函数中的第j个运动员参加第i个比赛项目的最低成绩换成平均成绩。2、数据的预处理题目中给的数据为第j个运动员参加第i个项目时分别稳定在四个分数和得这四个分数的概率，而在实际计算中需要的分别是第j个运动员参加第i个项目的最低成绩ijn（见表1.1）第j个运动员参加第i个项目的平均成绩（见表1.2）表1.1第j个运动员参加第i个项目的最低成绩ijn12345678910高低杠8.49.38.48.18.49.49.58.48.49平衡杠8.48.48.18.798.78.48.78.48.1跳马9.18.48.498.38.58.38.78.48.2自由体操8.78.99.58.49.48.48.48.29.39.1表1.2第j个运动员参加第i个项目的平均成绩ijs12345678910高低杠9.259.699.19.259.79.899.259.4平衡杠999.19.19.49.199.89.29.1跳马9.599.259.58.98.98.99.199.2自由体操9.19.39.899.79.259.29.39.79.5而问题二需要用到的数据是第j个运动员参加第i个项目的最好成绩ijw（具体情况见表1.3）表1.3第j个运动员参加第i个项目的最好成绩ijw12345678910高低杠9.59.8109.59.59.910109.59.7平衡木109.49.59.99.79.910109.89.5跳马9.8109.59.79.39.19.39.9109.6自由体操9.99.610109.99.59.59.89.99.8表1.4第j个运动员参加第i个项目时得到最好成绩的概率ijt12345678910高低杠0.50.20.10.10.50.20.20.10.50.2平衡木0.10.10.10.10.20.10.10.40.20.1跳马0.20.10.50.30.20.30.20.10.10.1自由体操0.10.20.20.10.20.50.20.10.30.23、模型的求解对于问题一，我们通过lingo运行程序，当第j个运动员参加第i个项目的成绩为运动员所取得的最低分时，得出最后团体的得分为212.2，程序详见lingo最佳阵容03，分析程序运行的结果可以得出相应的阵容安排（见表1.5）；当第j个运动员参加第i个项目的成绩为平均成绩时，得出最后团体的得分为225.1，程序详见lingo最佳阵容02，分析程序运行的结果亦可以得出相应的阵容安排（见表1.6).表1.5第j个运动员参加第i个项目的最低成绩时的阵容安排表、表1.6第j个运动员参加第i个项目的平均成绩时的阵容安排表对于问题二，在第一问的基础上将模型中的ijn换为ijw，运行程序后得出团体总分的上限为6.232。夺冠的概率为41101ijijtp，得出概率p为1510*22.1。具体程序详见04最佳阵容lingo。要求有90％的把握战胜怎样水平的对手，对方团体最后得分为b，此时的问题可以转化为正态分布的问题来求，即求%90bXp，将其标准化求b。90%XDXEbXDXEXp,即可转化为%901XDXEb7429.222,28.19.028.1bXDXEb得出，即12345678910高低杠0100111011平衡木0101110110跳马1101110010自由体操011011001112345678910高低杠0010111011平衡木0010101111跳马1011100011自由体操0010110111ijsD差个项目时平均成绩的方个运动员参加第为第ij具体情况见下表1.712345678910高低杠0.14250.0180.1440.1280.14250.0180.0180.1440.14250.038平衡木0.1440.080.1280.0880.0380.0880.1440.0840.1520.128跳马0.0380.1440.14250.0380.0720.0320.0720.0880.1440.128自由体操0.0880.0380.0180.1440.0180.16890.1520.1580.0320.2279五、模型的分析本文中的问题在体育团体比赛非常常见，最佳阵容的安排包括全能运动员的选取和单项运动员的选取，第一问我们巧妙的运用了0-1变量的定义，利用两个0-1变量，一个用来选取全能运动员，第二个用来选取单项运动员，然后进行和林的约束，得到较为精确的优质阵容安排。第二问我们运用中心极限定理，结合标准正态分布，整篇文章条理非常清晰。六、模型的拓展本模型不仅能很好的解决队员出场最优阵容的安排问题，还能推广到许多方面.例如，美国职业篮球赛NBA上场队员选拔，NBA赛季最佳阵容等比赛。七、参考文献[1]、熊德之，张志军，罗进·概率论与数理统计及其应用·北京：科学出版社，2009[2]、梅正阳，韩志斌，数学建模教程·北京：科学出版社，2012[3]、李卫国，优化与策略·北京·北京理工大学出版社，2102