水箱水流量问题

1水箱水流量问题班级：计算122姓名：李克文学号：1209010552水箱的水流量问题（一）问题的提出：许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试着通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水时间）t流出水箱的流量f(t)。假设：(1)影响水箱流量的唯一因素是该区域公众对水的普通需要。(2)水泵的灌水速度为常数。(3)从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度。(4)每天的用水量分布都是相似的。(5)水箱的流水速度可用光滑曲线来近似。(6)当水箱的水容量达到514.8g时，开始泵水；达到677.6时，便停止泵水。给出下面原始数据表，其中长度单位为E（1E=30.24cm）。水箱为圆柱体，其直径为57E。（二）关键字水箱，水流量，水箱容积，时间。（三）问题分析与建立模型引入如下记号：V——水的容积；Vi——时刻ti（h）水的容积（单位G，1G=3.785L（升）；f（t）——时刻ti流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h）；p——水泵的灌水速度（G/h）。根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h），水位高转换成水时间/s水位210E时间/s水位210E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水3475339733403的体积（V=πR2h），得下表。时间（h）水量（103G）时间（h）水量（103G）0606.112.954639.50.921593.713.876622.41.843583.014.982604.62.950571.615.904589.33.871562.616.826575.04.978552.117.932558.85.900544.119.038542.67.001533.649.959528.27.929525.420.839514.88.968514.822.015/9.981/22.958/10.926/23.880663.410.954677.624.987648.512.033657.725.908637.6注：第一段泵水的始停时间及水量为t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G）t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G）第二段泵水的始停时间及水量为t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G）t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G）2由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度：平均流速=（区间左端点的水量―区间右端点的水量）/区间中点值得下表：时间区间的中点值（h）平均流量（×103G/h）0.460614.01.38212.02.39610.03.4119.64.4259.65.4398.96.459.67.4688.98.44810.09.474/10.45/10.94/11.4918.612.4920.013.4219.014.4316.015.4416.0416.3716.017.3814.018.4914.019.5016.020.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0做出散点图如图15-1:图15-1散点图从图中可以看出数据分布不均匀，局部紧密，因此不能采用插值多项式处理数据，而用曲线拟合的最小二乘法。（四）计算过程1．算法：第1步:输入数据{xi，yi}；第2步:进行拟合；第3步:作出散点图；第4步:作出拟合函数图；第5步:进行误差估算。2．实现:在算法步2中使用Fit[]函数，步3、步4使用Plot[]，步5选用Integrate[]函数。3．误差估计：误差估算时，由于水泵的灌水速度为一常数，水箱中水的体积的平均变化速度tV应近似等于水泵的灌水速度P减去此段时间从水箱中流出的平均速度。即tdttftVP)(/此处f（t）在Δt区间的两端点间进行积分。如果此模型确实准确地模拟了这些数据，那么在不同的灌水周期中，按此模5型计算出的水泵灌水速度应近似为常数。下面通过水泵开始和停止工作的两段区间，即t∈[8.968，10.926]及t∈[20.839，22.958]来进行检验。第一段：对应于t始=8.968（h），t末=10.926（h）水量分别为v始=514800（G），v末=677600（G）故ΔV1=677600-514800=162800（G）Δt1=10.926-8.986=1.958（h）11tV=83150（G/h）第二段：对应于t始=20.839（h），t末=22.958（h）水量分别为v始=514800（G），v末=677600（G）所以ΔV2=677600-514800=162800（G）Δt2=22.958-20.839=2.119（h）22tV=76830（G/h）P1=83150+926.10968.81)(1dttftP2=76830+958.22839.202)(1dttft221PPP（五）结果分析通过水泵开始和停止工作的两段时间检验水泵灌水速度应近似为常数；其中由{1，x，x2，x3，…，x8}拟合的函数f（t）所产生的误差为8.217%，由{1，x3，x5，sin(0.1x)，cos(0.1x)}拟合达到8.224%。由此可见如选择不同的基函数，将得不同的误差。但是只要基函数选择恰当，所产生的误差也可以保持为相对稳定最小常数来支持该模型。同时，一旦确定了最佳f（t），我们便可通过Integrate[]函数估算出一天的用水总量，从而根据常规每1000人用水量来推测出该地区的人口数，另外，还可求得水箱的平均流速。评价1、优点：（1）任意时刻从水箱中流出的水速都可通过该模型计算出来；（2）可推测几天的流速；（3）可以将该建模过程推广到用电及用气的估算上。2、缺点：6（1）如能知道水泵的抽水速度，就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速；（2）通过考虑体积测量的差异建模，该作法包含着某种不准确性。源程序：L={{0.460，14.0}，{1.382，12.0}，{2.396，10.0}，{3.411，9.6}，{4.425，9.6}，{5.439，8.9}，{6.45，9.6}，{7.468，8.9}，{8.448，10.0}，{11.49，18.6}，{12.49，20.0}，{13.42，19.0}，{14.43，16.0}，{15.44，16.0}，{16.37，16.0}，{17.38，14.0}，{18.49，14.0}，{19.50，16.0}，{20.40，15.0}，{24.43，14.0}，{25.45，12.0}}fx=Fit[L，{1，x^3，x^5，Sin[0.1x]，Cos[0.1x]}，x]graph1=ListPlot[L，DisplayFunction→Identity]graph2=ListPlot[fx，{x，0.46，25.45}，DisplayFunction→Identity]；Show[graph1，graph2，DisplayFunction→$DisplayFunction，PlotRange→All]图15-2水箱水流量拟合图v1=677600-514800；t2=10.926-8.968；m1=v1/t1；v2=677600-514800；t1=22.958-20.839；m2=v2/t2；p1=m1+Integrate[fx，{x，8.968，10.926}]/t1p2=m2+Integrate[fx，{x，20.839，22.958}]/t2%=（p1-p2）p2运行结果为：112.541-0.0198509x3+0.0000156083x5-97.968Cos[0.1x]-33.1108Sin[0.1x]83159.976840.80.0822362（六）模型评价该模型数学概念简单,并且容易实现,任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模型计算出来,可以推测速度.但数据太少,只能参照一天的数据.另外,如果知道水泵的灌水速度,就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速.（七）模型的分析与改进71）模型评价1、模型的优缺点优点：1.模型可以用于有一个标准水箱的小镇使用，容易推广；2.模型用到的知识简单易懂,模型容易完成；3.模型不仅提供了水流量及一天用水量的较为准确的估计,还可以估计任何时刻的水流量,包括水泵工作时的水流量.缺点:无法准确估计结果的误差（八）参考文献[1]飞思科技产品研发中心编著MATLAB基础与提高电子工业出版社2005年4月[2]：姜启源、谢金星、叶俊编，《数学模型—3版》北京：高等教育出版社，2003年8月[3]:施吉林、刘淑珍、陈桂芝编，《计算机数值方法-第三版》北京：高等教育出版社，2009年4月8