神奇的对数换底公式(公开课)

神奇的对数换底公式.logloglog3;loglog2;logloglog1,0,0,1,0NMNMRnMnMNMMNNMaaaaaanaaaa则如果一、复习与回顾2、对数的运算性质1、对数的定义NbNaablog二、动手实践）（精确到和、利用计算器计算001.0.2lg15lg1）（精确到和、利用计算器计算001.0.2ln15ln2说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学计算器可以直接计算常用对数和自然对数.结果：1、2、176.115lg301.02lg708.215ln693.02ln问题：可否利用计算器的“lg”或“ln”键求出的值呢？2log15我们可设，2log15x215x对上式两边同取以10为底的对数可得1010log2log15x，lg2lg15xlg2lg15xlg15lg2x，2lg15log15lg22lg15log15lg2x3.91.从而有即即三、问题探究2lg15log15lg2由抽象推广到一般情况可得重要的对数转换公式：换底公式loglog(010)logabaNNbababN其中，，，，说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面对的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，2log15四、获取新知.0,1,,0,logloglogNbababNNaab证明:设x=logbN,根据对数定义,有N=bx.两边取以a为底的对数,得logaN=logabx.而logabx=xlogab,所以logaN=xlogab.由于b≠1,则logab≠0,解出x得.loglogbNxaa.logloglogbNNaab因为x=logbN,所以对数换底公式换底公式好神奇换成新底可任意原底加底变分母真数加底变分子如何证明证:设2log15x，根据对数的定义,写成指数式，得215x两边取常用对数,得lg2lg15x所以lg15lg2x.,loglogxbNaa证明二：设bxNaaloglog则xablogxbN所以Nxblog.logloglogbNNaab所以题型利用换底公式化简求值例1计算：（1）9log27；（2）827log9log32解:(1)392lg27lg33log27lg9lg329103lg32lg52lg33lg23lg2lg2lg3lg32log9log)2(3532278五、知识应用题型利用换底公式化简求值例1计算：（1）9log27；（2）827log9log32解法二:(1)3339233log27log33log27log9log329103log32log52log33log23log2log2log3log32log9log)2(333333533323278logmnaanmlogmnabloganbmloglogabba1五、知识应用题型利用换底公式化简求值例1计算：（1）9log27；（2）827log9log32解法三:(1)2393333log27log3log32232258272323(2)log9log32log3log22510log3log2339五、知识应用六、公式推论1loglogbaab推论1令，logloglogabaNNbNa由即可得到推论2loglogmnaanbbmlogloglogmnnamaabba直接利用换底公式loganbmloganbm如何证明如何证明七、跟踪练习.31log321log1251log)2(;27log8log)1(532329计算：32lg27lg9lg8lg27log8log)1(329解：53232lg3lg3lg2lg2lg53lg33lg22lg31095lg31lg3lg321lg2lg1251lg31log321log1251log)2(532解：5lg3lg3lg2lg2lg5lg1531532333293log2log27log8log52法二：3log2log2323231553323log2log5log31log321log1251log532法二：3log2log5log)1()5()3(53215例2用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）23851.082log48log10;log;log50;log2；知识应用585.52lg48lg48log2解：096.23ln10ln10log3550.0log8431.250log5795.82log082.1题型对数运算在实际问题中的应用例3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则经过1年，剩留量是0.84y；经过2年，剩留量是20.84y；……………………经过x年，剩留量是0.84xy；知识应用题型对数运算在实际问题中的应用例3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则经过x年，剩留量是0.84xy；方法一根据函数关系式列表如下观察表中数据，0.5y时对应有4x，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。x012345…0.84xy10.840.710.590.500.42…知识应用题型对数运算在实际问题中的应用例3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则经过x年，剩留量是0.84xy；即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。方法二依题意得0.840.5x，0.84log0.5xln0.53.98ln0.84知识应用对数换底公式.0,1,,0,logloglogNbababNNaab1loglogbaabbmnbanamloglog两个推论你从这节课上学到了什么？八、课时小结思考：(1)对数换底公式的作用是什么？(2)在什么情况下选用对数换底公式？(3)在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？必做题:教材P88习题B组T42、已知77log3,log4ab,试用a,b表示48log49.选做题:已知lglg2lg(2)xyxy,求2logxy的值.九、课外作业指数的换底公式问题与思考logbnanab(1)你能证明指数换底公式吗?(2)已知lg20.3010，lg30.4771，你能否较快地比较1002与653的大小吗?(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?思考:对数有换底公式,指数有换底公式吗?十、知识延伸思考：对数换底公式的作用是什么？思考：在进行对数的化简与计算时，如何选用底数？思考：在什么情况下选用对数换底公式？答：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化为10为底的常用对数进行运算.(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成同一个底数为底的对数，再根据运算法则进行化简或求值.答：利用对数换底公式可以将不同底数的对数化为同底的对数；或将一般地对数化为自然对数或常用对数，这样便于查表和计算.答：一般进行数值计算的可选用以10为底的常用对数，便于查表和计算；若进行化简和证明，可选用被处理的式子中用的比较多的底数作为底数.