01-概率论基础-(管理统计学与SPSS-16.0应用课件)

管理统计学2010年1概率论基础1.1事件与概率1.2概率的基本性质1.3条件概率与事件独立性1.4随机变量及其分布1.1事件与概率•自然界和人类社会生产实践中的两类现象–确定性现象：具有确定结果的现象–不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪种结果•概率论研究的对象——随机现象例1.1生活中的随机现象•生活中随机现象的例子–抛掷一颗骰子，出现的点数–一天内进入某超市的顾客数–某一生产线生产出的灯泡的寿命–某批产品的不合格率1.1.1随机试验与随机事件•随机试验：满足以下三个特点的试验–试验可以在相同的条件下重复进行–试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所有可能出现的结果–试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果•样本空间()：一个随机试验的所有可能结果的集合•样本点()：试验的每一个可能结果例1.2随机现象的样本空间•试列出例1.1中随机现象的样本空间–掷一颗骰子的样本空间：Ω1={ω1,ω2,…,ω6}，其中ωi表示出现i点，i=1,2,…,6。也即掷一颗骰子的样本空间为：Ω1={1,2,…,6}–一天内进入某超市顾客数的样本空间：Ω2={0,1,2,…}，其中0表示一天内无人光顾–某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间：Ω3={t|t≥0}–产品的不合格率一定是介于0与1之间的一个实数，因此其样本空间：Ω4={y|0≤y≤1}随机事件•随机事件/事件(A,B,C…)：样本空间的某个子集•事件A发生：当且仅当事件A所包含的某一样本点出现•随机事件的几个概念–基本事件：仅包含一个样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件B“掷出2点”–复合事件：包含多个样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件C“出现偶数点”–必然事件()：包含全部样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件D“点数小于7”–不可能事件(Ø)：不包含任何样本点的随机事件•例如，掷一颗均匀的骰子，事件E“点数大于6”1.1.2事件的关系及运算•文氏图–展示在不同事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系–用一个长方形表示样本空间Ω，用其中的一个圆或其他图形表示随机事件AΩA(1)事件之间的关系（待续）•事件的包含–A包含于B//事件A发生必然导致事件B发生BAABΩBAA包含于B事件之间的关系（续）•事件的相等–A与B相等/A=B事件A发生必然导致事件B发生，同时事件Ｂ发生必然导致事件A发生•事件的互不相容–A与B互不相容事件A与事件B不可能同时发生ΩA(B)ΩABA=BA与B互不相容(2)事件的运算（待续）•事件的并–A与B的并/A∪B属于事件A或B的所有样本点构成的集合•事件的交–A与B的交/A∩B/AB同时属于事件A和B的所有样本点构成的集合ΩABAΩABA∪BA∩B事件的运算（续）•事件的差–A与B的差/A-B属于事件A、不属于事件B的所有样本点构成的集合•事件的对立（逆）–A的对立（逆）/样本空间中不属于事件A的所有样本点构成的集合ΩBAAΩAA-BA例1.3产品抽样检查•已知一批外形无差别的产品中有3件次品，现随机地从这批产品中依次抽取3件，分别以A、B、C代表第一次、第二次、第三次抽到次品•试表示①三次都抽到次品②只有第一次抽到次品③三次都没有抽到次品④至少抽到一件次品⑤最多抽到一件次品⑥最多抽到两件次品•解：①三次都抽到次品：②只有第一次抽到次品：③三次都没有抽到次品：④至少抽到一件次品：⑤最多抽到一件次品，即A，B，C中只有一个发生或A，B，C全不发生：⑥最多抽到两件次品，即是A，B，C全发生的对立事件：ABCCBACBACBACBACBACBACBAABC(3)事件运算的性质•事件运算遵循的法则–交换率：，–结合率：，–分配率：–对偶率（德莫根公式）：ABBABAABC)B(ACB)(AA(BC)(AB)CBCACCB)(AC)B(C)A(CB)(ABABABABA1.1.3事件的概率•概率：随机事件发生的可能性的量度–常用P(A)表示随机事件A发生的可能性大小概率的四种定义概率的统计定义概率的古典定义概率的几何定义主观概率(1)概率的统计定义（待续）•频率：FN(A)=n/N，其中n为事件A发生的次数，N为试验总次数•频率的性质–非负性：FN(A)≥0–规范性：FN(Ω)=1–可加性：若A、B互不相容，则FN(A∪B)=FN(A)＋FN(B)概率的统计定义（续）•频率稳定性：在相同条件下进行的多次重复试验，随着试验重复次数N的增加，随机事件A的频率FN(A)会在某一固定的常数a附近摆动，这个固定的常数a就是我们所说的概率试验者抛硬币次数出现正面次数出现正面频率德摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005历史上抛硬币试验的若干结果(2)概率的古典定义•古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型–试验具有有限个可能出现的结果–试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的•古典概型中基本事件ω的概率（假定样本空间={ω1，ω2，…，ωn}）•古典概型中随机事件A的概率其中，事件A包含样本点又称为A的“有利场合”n1)P()P()P(n21nm样本点总数所包含的样本点的个数事件AP(A)例1.4摸球模型•已知袋中有5个白球、3个黑球，从中任取两个•求取到的两个球颜色不同的概率•解：–从8个球中任取2个有种不同的取法，记“取到的2个球颜色不同”为事件A，则事件A包含的样本点数为，故取到两个不同颜色球的概率为•摸球模型在实际问题中的应用–将“白球”、“黑球”替换为“正品”、“次品”，就可以用来求解产品质量抽样检查问题–向口袋中加入其他颜色的球，可以描述具有更多等级的产品抽样问题，如将产品分为一等品、二等品、三等品、等外品的产品抽样检查问题28C1315CC2815P(A)281315CCC(3)概率的几何定义•几何概型：设在空间上有一区域，随机地向内投掷一点M，满足–M落在区域Ω内的任意位置的概率都是相等的–M落在区域Ω的任何部分区域g内的概率只与g的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且与g的位置和形状无关•几何概型中随机事件Ag的概率的测度的测度gg)P(A例1.5会面问题•已知甲、乙两人约定在6到7时间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去•求两人能会面的概率•解：–以甲到达的时刻为x轴，以乙到达的时刻为y轴，建立平面直角坐标系坐标平面（x，y）的所有可能结果为图中所示边长为60的正方形，由此得到样本空间Ω的测度为SΩ=602如果两人能够会面，需要满足条件|x-y|≤20，即图中的阴影部分，其面积为Sg=602-402，故两人能会面的概率为O20206060xy95604060)P(A222g(4)主观概率•主观概率：对于一些不能重复的或不能大量重复的现象，根据个人的经验对随机事件发生的可能性进行估计得出的概率–例如气象预报“今天夜间多云有阵雨，降水概率60%”，外科医生认为某患者“手术成功的可能性为90%”1.2概率的基本性质•根据概率的公理化定义，有–性质1（非负性）：对于任意事件A，有P(A)≥0–性质2（规范性）：必然事件Ω的概率为1，即P()=1–性质3（可列可加性）：对于可列个两两互不相容事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)公理导出性质（待续）•根据性质1、2、3，有–性质4：不可能事件Ø的概率为0，即P(Ø)=0–性质5（有限可加性）：对于任意n个事件A1,A2,…An，若AiAj=Ø（i,j=1,2,…,n；i≠j），则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)–性质6：对于任意事件A，有P()=1-P(A)A公理导出性质（续）–性质7：对于任意事件A和B，若AB，则P(A-B)=P(A)-P(B)–性质8（减法公式）：对于任意事件A和B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)–性质9（加法公式）对于任意事件A和B，有P(A∪B)=P(A)＋P(B)-P(AB)–性质10（一般加法公式）对任意n个事件A1，A2，…，An，有)AAP(A1)()AAP(A)AP(A)P(A)AP(n211n1kji1ji1iin1iinkjinjin例1.6职工代表•已知某班组有男工7人、女工4人，现要选出3个代表•求3个代表中至少有一个女工的概率•解法1：–样本空间包含的全部样本点数为，以A记“3个代表中至少有一个女工”，Ai记“3个代表中有i个女工”(i=1,2,3)，则A=A1＋A2＋A3，故所求概率为•解法2：–将“3个代表中至少有一个女工”记为事件A，则=“3个代表全部为男工”，而，根据性质6可求得337)AP(31137CC311C3326165455145528)P(A)P(A)P(AP(A)3113431117243112714321CCCCCCCC33263371)AP(1P(A)A例1.7电子刊物订阅•已知某学校向学生发行两种电子刊物A和B，且该校学生中订阅刊物A的占65%，订阅刊物B的占50%，同时订阅刊物A和B的占30%•求：从该学校学生中随机地抽取一名，该学生订阅电子刊物的概率•解：–若以A记“学生订阅刊物A”，以B记“学生订阅刊物B”，则学生订阅电子刊物为事件A∪B。根据概率的加法公式，学生订阅电子刊物的概率为P(A∪B)=P(A)＋P(B)-P(AB)=0.65＋0.5-0.3=0.85例1.8匹配问题•已知某人写好n封信，又写好n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中•求至少有一封信与信封匹配的概率•解：–若以Ai记第i封信与信封匹配，则所求事件为A1∪A2∪…∪An，因此，根据一般加法公式有…因此有nnn1!)!1()P(Ai)1(1!)!2()AP(Ajinnnn)2)(1(1!)!3()AAP(Akjinnnnn!1)AAP(An21nn!1)1(!31!211n!1)1(2)-1)(n-n(n1C1)-n(n1Cn1C)AAP(A113n2n1nn21nn1.3条件概率与事件独立性1.3.1条件概率与乘法公式1.3.2事件独立性1.3.3全概率公式1.3.4贝叶斯公式1.3.1条件概率与乘法公式•条件概率：P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率•条件概率公式：，其中A、B为任意两个事件，且P(B)0P(B)P(AB)B)|P(A例1.9员工升职问题•某公司有1200名员工(包括男性960人，女性240人)，过去的三年里员工提升情况见表中数据•试计算①若一个员工为男性，则其得到提升的概率②若一个员工为女性，则其得到提升的概率•解：–根据题意，分别以M记“某员工为男性”、W记“某员工为女性”，以A记“某员工得到提升”，由表中数据有P(M)=960/1200=0.80P(W)=240/1200=0.20P(MA)=288/1200=0.24P(WA)=36/1200=0.03①若一个员工为男性，则其得到提升的概率为②若一个员工为女性，则其得到提升的概率男性女性合计升职人数28836324未升职人数672204876合计9602401200员工提升情况表3.080.024.0P(M)P(AM)M)|P(A15.020.003.0P(W)P(AW)W)|P(A条件概率的性质（待续）•性质1：对于任意事件A和B，有P(A|B)≥0•性质2：在事件B发生的条件下，必然事件Ω发生的概率为1，即P(Ω|B)=1•性质3：对于可列个两两互不相容事件A1,A2,…，以及任意事件B，有•性质4：对于任意事件B，有P(Ø|