59高等数学—不定积分练习题

第三章复习X.1积分换元的几种形式1．利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求dxxx229解令txsec3，则tdttdxtansec3于是dxxx229dttttdttttsectantansec3sec9tan322.9|9|ln9|393|lnsin|tansec|ln)cos(sec221221CxxxxCxxxxCtttdttt练习求221)1(xxxdx2．倒代换（即令tx1）设nm,分别为被积函数的分子、分母关于x的最高次数，当1mn时，可以考虑使用倒代换。求)0(222axaxdx解令tx1，则dttdx21，于是原式12)1(1111122222222222tatadatatdtdtttatCxaaxCata2222221练习dxxxx11223．指数代换（适用于被积函数)(xf由xa所构成的代数式）令tax，.ln1tdtadx求xxxdx4212解令tx2，tdtdx2ln1原式43)21(2ln12ln1122tdttdttttCCtCtttdx312arctan2ln32312arctan2ln322321arctan322ln123)21()21(2ln1122练习求6321xxxeeedxX.2有理函数的积分一、有理函数的积分形为mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(，（1）其中m和n都是非负整数；naaaa,,,,210及mbbbb,,,,210都是实数，并且0,000ba。假定分子与分母之间没有公因式，当mn时，称（1）为真分式；否则为假分式。利用多项式的除法，总可以将一个假分式转换为一个多项式与一个真分式的和。而多项式的积分容易求得，所以只需要讨论真分式的积分。真分式由如下性质:如果真分式)(xQ在实数范围内能分解称一次因式与二次质因式的乘积，如)()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ（其中),04,,0422srap那么真分式)()(xQxP可以分解成如下部分分式之和：qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMbxBbxBbxBaxAaxAaxAxQxP21222211121121)()()()()()()()(srxxSxRsrxxSxRsrxxSxR21222211)()(（2）其中iiiiiRNMBA、、、、及iS等都是常数。对于（2）式应注意以下两点：1）分母)(xQ中如果有因式kax)(，那么分解后有下列k个部分分式之和axAaxAaxAkkk121)()(其中nAAA,,,21都是常数，特别地，如果1k，那么分解后有axA；2）分母)(xQ中如果有因式kqpxx)(2，其中042qp，那么分解后有下列k个部分分式之和qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数，特别地，如果1k。那么分解后有qpxxNMx2。然后我们可以使用待定系数法，或者直接代入x的特殊值求出系数例如，真分式)3)(2(36532xxxxxx可分解成32)3)(2(3xBxAxxx其中BA,为待定系数，可以用如下的方法求出待定系数。第一种方法两端去分母后，得)2()3(3xBxAx或)23()(3BAxBAx（3）因为这时恒等式，等式两端x的系数和常数项必须分别相等，于是有6)23(1BABA从而解得.6,5BA第二种方法在恒等式（3）中代入特殊的x值，从而求出待定的常数。在（3）式中令2x，得5A；令3x，得6B.同样得到3625)3)(2(3xxxxx例1求dxxxx6532.解因为36256532xxxxx,所以.|3|ln6|2ln53162153625)3)(2(3Cxxdxxdxxdxxxdxxxx例2求dxxxx3222.解由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想方法.因为分子是一次式2x,而分母的导数,由于分子是一次式,而分母的导数也是一次式,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即21)22(212xx3)22(21x这样,所求的积分可计算如下:.21arctan23)32ln(21)2()1()1(332)32(21323)22(213222222222Cxxxxxdxxxxddxxxxdxxxx例3求dxxx2)1(1.解因为1)1()1(122xCxBxAxx,两端去分母,得)1()1(12xCxBxxA.(4)令0x,得1A;令1x,得1B,把BA,的值代入(4)式,并令2x,得C2211,即1C.所以.11|1|ln||ln)1(1111)1(1111)1(1222Cxxxdxxdxxdxxdxxxxdxxx例4求dxxx)1)(21(12.解因为22151522154)1)(211xxxxx,所以dxxx)1)(21(12dxxxx2151522154.arctan51)1ln(51|21|ln52arctan51)1(1151)21(21152115112512125222222Cxxxxxdxxdxdxxdxxxdxx当有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,只出现多项式、naxA)(及nqpxxNMx)(2等三类函数.前两类函数的积分很简单,下面讨论积分dxqpxxNMxn)(2.将分母中的二次质因式配方得42222pqpxqpxx,故令tpx2,并记bMtNMxatqpxx,222,其中2,422MpNbpqa,于是dxqpxxNMxn)(2nnatbdtatMtdt)()(2222.当1n时(如例2),有dxqpxxNMx22)(CapxabqpxxM2arctan)ln(22.当1n时,dxqpxxNMx22)(nnatdtbatnM)())(1(222122,上式最后一个积分的求发见上节例9.这样我们就将有理函数的积分求出来了.由此,可得,有理函数的原函数都是初等函数.二、三角有理式的积分例5求dxxxx)cos1(sinsin1.解由三角学知道,xsin与xcos都可以用2tanx的有理式表示，即2tan12tan22sec2tan22cos2sin2sin22xxxxxxx，2tan12tan12sec2tan12sin2coscos222222xxxxxxx所以如果作变换)(2tanxxu，那么22211cos,12sinuuxuux，而uxarctan2，从而duudx212.于是.|2tan|ln212tan2tan41||ln2221121111212121)cos1(sinsin12222222CxxxCuuuduuuuuuuuduuudxxxx本例使用的代换称为万能代换，对三角有理式的积分都可以使用三、简单无理式的积分例6求dxxx1.解为了去掉根号，可以设tx1，于是tdtdxtx2,12，从而积分为.)1arctan1(2)arctan(21112122112222CxxCuuduuduuuuduuudxxx例7求dxex11.解令tex1，则21tex，|1|ln2tx，dtttdx122，得.1111ln11ln1121211122ceecttdttdttttdxexxx例8求dxxxx3解为了同时去掉各个根式，得令,6tx.|1|ln66322356|1|ln234566)111(6111616666626364652345623456652333cxxxxxxxctttttttdtttttttdtttdtttdtttttdxxxx例9求dxxxx11.解为了去定掉根式，可以设txx1，于是2222)1(2,11,1ttdtdxtxtxx，从而所求积分为.||ln11ln212|1|ln)1ln(2211ln2111212)1(2)1(112222222CxxxxxCtttCtttdttdtttdtttttdxxxx四、含有反三角函数的不定积分绝大多数这类题可直接令反三角函数为新变量求解求xdxxxarctan122解令ududxuxux2cos,tan,arctan于是原积分uduuuduuuu2222tancostan1tan22221sec)1(secuuduuduuu2221tantan21)(tanuuduuuuuudCuuuu221|cos|lntanCxxxx22)(arctan2111lnarctanCxxxx22)(arctan21)1ln(21arctan练习求dxxx32)1(arccos五、抽象函数的不定积分所谓抽象函数的不定积分，是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分，其解法同样可用换元法和分部积分法求dxxfxfxfxfxf)()()()()(32解原式dxxfxfxfxfxfxfdxxfxfxfxfxf)()()()()()()()()()()(22322Cxfxfxfxfdxfxf2)()(21)()()()(练习dxxfxxf)(ln)(ln六、分段函数的不定积分设1210101)(xxxxxxf，求.)(dxxf解当0x时，11)(Cxdxdxxf，当10x时，2221)1()(Cxxdxxdxxf当1x时，322)(Cxxdxdxxf由于原函数的连续性，分别考虑在1,0xx处的左、右极限可知有32211121,CCCC，解之，有21321CCC，令CCCC21321，则12110210)(22xCxxCxxxCxdxxf练习求dxxx)1,,max(23。X.3几种特殊形式的定积分计算一、分段函数的积分（1）要认清积分限是被积函数定义域的哪个区间段的端点，然后按段积分求和。（2）当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式。切记