向量的坐标表示(新)

复习1.向量的概念:既有大小又有方向的量.2.向量的加减法,实数与向量的乘法.其结果还是向量在直角坐标平面内，以原点为始点，点P为终点的向量,叫做点P的位置向量。OP因为向量可以平移，并且根据向量相等的定义可知，对于平面上任何一个向量都有唯一确定的位置向量与它相等。,,,ABPOPAB这也就是说如果已知向量就能唯一确定点使1.位置向量：0ABPP10ijP(x,y)P22.习惯上我们常在平面直角坐标系内，分别把与轴正半轴、轴正半轴方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量.记做和xyij由此可见在平面直角坐标系内有且只有一对有序实数对(x,y)与OP对应。如果点P的坐标是P(x，y）,那么P在x轴上的射影为点P1（x，0），P在y轴上的射影为点P2（0，y），于是OP1=xi，OP2=yj，由向量的加法运算可知，OP=xi+yj，该和式称为i和j的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解OP3.我们把有序实数对叫作位置向量的坐标，并记作yx,注意：1）向量的坐标表示方法与点的坐标表示方法类同。2）位置向量的坐标就是它终点的坐标。),(yxOP),();,(yxOPyxPyxOP,3）jyix４.因为平面上任意向量都有与它相等的位置向量所以也都可以用基本单位向量、表示：aOPaij.jyixOPa它们的系数、是与向量相等的位置向量的终点的坐标，通常我们用有序实数对表示向量，并称为向量的坐标，记作aaaxyOP),(yx),(yx),(yxa0,,ji显然，P01,10,00,,,,,.42211yxQQyxPP是的坐标点的坐标是设点2211()()PQOQOPxiyjxiyj由向量减法得：11xiyj22xiyj2121()()xxiyyj),1212yyxxPQ（于是),(22yxOQ),(11yxOP那么1）实际上，任何一个向量的坐标是用向量终点与起点的坐标的差来表示的。的坐标。叫做向量有序数对，则和点定义：若点PQyyxxyxQyxP12122211,,,.,,,).21212那么为所对应的位置向量若yxORyyxxPQ1212yyyxxx的坐标。和写出，设，，，、已知点baQPbPQaQP,,45232并求它们的坐标。，分别表示向量和、用dcbaji,,,1dcbaA1A2A52420yxB)3,2(a)3,2(b)3,2(c)3,2(d)6,2(a)6,2(b3、已知平面A、B、C三点的坐标分别为（2，1）、（-3，2）、（-1，3），⑴写出向量,的坐标;⑵如果四边形是平行四边形,求D点的坐标；ABCDACBC1,2A2,3B3,1CDOxy（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：（2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：a)3(2121yxb2222yxba221221)()(yyxx),(2121yyxxba),(yxa),(kykxak二、向量坐标的运算2211yxbyxa,,,设例3已知向量与,求的坐标1,4a2,5bba322,82a6,153b4,2362,15832ba解:因为所以三、两个向量平行的坐标表示bayxbyxa//,,,,2211则已知非零向量bka2121yyxx或0,022yx1221yxyx或的充要条件是则已知非零向量bayxbyxa//,,,,22111221yxyx例已知A（1，3）、B（x，2）、C（2，-1），且A,B,C三点共线，试求实数x的值。816433akbkabk例、设，，，，且、同向或反向，实数的值。K=3或k=-345x四、定比分点1122122:,,.PPPPPPPPPPP定义如果点是在直线上除点外的某一点实数使得成立则点称为分为定比的分点（1）当λ0时，称P为P1P2的；（2）当λ0时，称P为P1P2的.的值。求已知,,3212211PPPPPPPP内分点外分点的坐标。分点形式计算定比、应用向量运算的坐标例P6yxPPPyxPyxP,,,,,21222111的点为定比则分若112121yyyxxxPP的坐标。求点，且上在直线点例、已知PPNMPMNPNM3,,2,3,5,2211,2741,411或的坐标。的重心试用向量方法求为的三个顶点的坐标分别例、设GABCyxCyxByxAABC,,,,,,332211xyABCDG123123,33xxxyyyG3,3321321yyyxxxOGOGADOA32小结4.坐标法的简单应用.1.基本单位向量,位置向量;2.平面向量的正交分解;3.向量的坐标表示法,向量的加法,减法,数与向量的乘法等运算的坐标表示形式;