向量知识方法总结

资料分享QQ群141304635联系电话：826188991向量知识方法总结学而思高考研究中心－武洪姣、曲丹一、知识结构图平面向量概念线性运算基本定理加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线（平行）垂直a→∥b→b→＝a→（a→≠→0）x1y2－x2y1=0a→⊥b→b→·a→＝0x1x2＋y1y2=0投影b→在a→（a→≠→0）方向上的投影为|b→|cos＝a→·b→——|a→|非零向量a→与b→夹角，则cos＝a→·b→——|a→|·|b→||a→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2夹角公式资料分享QQ群141304635联系电话：826188992二、知识梳理知识点平面向量空间向量共线共面条件对平面任意一点O和不重合的2点AB，，若OPxOAyOB（其中1xy），则PAB，，三点共线对空间任一点O和不共线的3点ABC，，．若满足OPxOAyOBzOC（其中1xyz），则PABC，，，四点共面向量基本定理如果1e，2e是平面内的2个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12，，使1122aee如果3个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组xyz，，，使pxaybzc向量的坐标运算已知11axy，、22bxy，，则：1212abxxyy，1212abxxyy，，1212abxxyy12abxx∥且12yyR（ab，为非零向量）已知123aaaa，，，123bbbb，，，则：112233abababab，，112233abababab，，112233abababab11abab∥且22ab且33abR夹角和距离设11axy，，22bxy，，则：2211axy，2222bxy，121222221122cosxxyyabxyxy，如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为11xy，、22xy，，那么221212axxyy设123aaaa，，，123bbbb，，，则：222123aaaa，222123bbbb，112233222222123123cosababababaaabbb，，已知111Axyz，，，222Bxyz，，，则222212121ABxxyyzz三、学习建议首先。由于向量相等、向量加减的几何意义、向量的数乘运算、向量加、减、数乘的坐标运算及平面向量共线的条件等是高考热点。所以对于向量基础知识的学习是向量的重中之重。其次，注意提高解决向量题目的速度，高考本身不只是对于知识掌握的考察，还包括对于学生能力的考察，解决题目使用的时间越少，就可以为后面的大题像圆锥曲线，导数，立体几何，甚至是20题赢得时间，那么除了基础知识掌握的足够熟练以外还要有快速解决向量的意识，那么快速解决向量主要有两个方式：一可以观察题目是否在考察向量几何意义，有些题目的几何意义明确，利用数形结合的方法就可以将题目秒杀，二、特殊图像代替一般图像，向量很多都是要融合到三角形，四边形等等，我们可以将题目中一般图形特殊化变为直角三角形，等腰三角形，甚至是等边三角形都是可以的，当然题目是否可以应用特殊法是需要我们进行判断和说明的，详细的信息请参照经典精讲的考点5.资料分享QQ群141304635联系电话：826188993最后，高考中向量的大分值的考察对于理科生来说主要是空间向量的应用，充分掌握利用空间向量的方法证明的十大问题（线线，线面，面面的平行，垂直，夹角和距离问题），细节的掌握是空间向量的重点，注意求夹角的时候所求角与题目要求的角的关系，是相等，互补，还是互余；在求直线的方向向量，面的法向量的时候，尤其不能出错，否则一字错，满盘皆输，所以细心很重要。四、题型归纳总结考点1：向量的概念向量的概念的直接考察并不多，一般与简易逻辑放在一起考察【例1】判断对错⑴零向量是大小为0，没有方向的量。⑵单位向量都相等⑶如果(0)ab只能说明AB与BC是平行向量，而不共线⑷(0)ab说明a与b向量方向相同【分析】注意向量中的几个概念，零向量，单位向量，共线向量，反向向量【答案】全错【例2】（2010海淀一模文3）已知向量a，b，则“ab∥”是“0ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】B；必要性：0abab，从而有ab∥；充分性：当ab∥时，可以取2ab，从而3abb，当0b≠时0ab≠．综上，“ab∥”是“0ab”的必要不充分条件．考点2：向量的运算本部分的题目都是比较简单，属于基础题目，同学们可以在2分钟之内做完么，如果可以你的运算过关了！否则还要努力！！！【例3】（2014北京理10）已知向量a、b满足1a，(21)b，，且0()abR，则||______．【解析】5由0ab，有ba，于是||||||ba由(21)b，，可得5b，又||1a，故||5【例4】（2014大纲理4）若向量a，b满足：||1a，aba，2abb，则b（）A．2B．2C．1D．22【解析】B【例5】（2011北京西城二模文10）已知向量13a，，03ab，，设a与b的夹角为，则_____．资料分享QQ群141304635联系电话：826188994【解析】120（或2π3）(13)a，，(10)b，，1cos2abab，故120．考点3：向量的几何意义对于向量运算的几何意义的把握可以让我们快速的解决问题，【例6】（2014年上海理16）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，(128)iPi是上底面上其余的八个点，则(128)iABAPi的不同值的个数为（）A．1B．2C．4D．8【分析】本题一看很多同学发现这是一个如此完美的图像，可以建立直角坐标系，所以就大刀阔斧的动笔去写每个点的坐标，这的确是一种可以解决问题的方法；显然有更简单的方法，因为题目要求的是(128)iABAPi，向量的乘法可以利用投影：,ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影cosb的乘积，而且题目中AB是固定不变的，因此不难发现题目中的所有iAP与AB的投影都是AB本身，因此只要一个答案，是不是比建系的方法简单了很多呢！【答案】A【练一练】（2012北京理）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为；DEDC的最大值为．【分析】利用几何意义【解析】1；1．考点4：向量的分解【例7】（2013北京石景山一模理文13）如图，在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是_______．【分析】在运算过程中，我们很多情况下将给定的向量转化到平面中夹角和大小确定的向量，我们要有分解的意识。【解析】2．考点5：向量的快解题目中所给的已知条件的个数少，不能具体的将所有的量确定，比如例8中所给的条件P8P7P6P5P4P3P2P1BAFEDCBA资料分享QQ群141304635联系电话：826188995不知道题目中的三角形是一个什么样的三角形为了快速解决问题将三角形特殊为直角三角形，而且所求量往往是定值，定量或定关系，这样的题目使用特值法可以更快的解决问题。【例8】（2014东城一模理6）如图，在中，，，是的中点，则（）A．3B．4C．5D．不能确定【解析】B；可以将三角形成直角三角形，取A为原点，B，C分别在坐标轴上，于是13100322BCD，有1313422ADBC．【例9】（2012年浙江理）在ABC△中，M是BC的中点，310AMBC，，则ABAC________．【解析】16．方法一：将条件“ABC△”特殊化为“等腰三角形ABC，ABAC”，并建立直角坐标系，如图．5,35,316ABAC．方法二：将点A压到直线BC上8216ABAC考点5：向量的应用空间向量的应用ABC△1AB3ACDBCADBCDCBAMCBA235MCBA资料分享QQ群141304635联系电话：826188996【例10】（2014海淀一模理17）如图1，在RtABC△中，30ACB，90ABC，D为AC的中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD△沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示．⑴求证：AE平面BCD；⑵求二面角ADCB的余弦值；⑶在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，求出AMAF的值；若不存在，请说明理由．【分析】本题是一道综合题目，在立体几何中空间向量一般是解决夹角问题或动点问题有着得天独厚的条件和优势，当然缺点就是需要大量的计算，所以每一个点的向量要写对，线的方向向量和面的法向量都要求对，其次在向第3问的题中，涉及到要求点的动点问题，怎样设点至关重要，一般我们都是利用三点共线的方法处理。【解析】⑴因为平面ABD平面BCD，交线为BD，又在ABD△中，AEBD于E，AE平面ABD所以AE平面BCD．⑵由⑴结论AE平面BCD可得AEEF．由题意可知EFBD，又AEBD．如图，以E为坐标原点，分别以,,EFEDEA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz不妨设2ABBDDCAD，则1BEED．由图1条件计算得，3AE，23BC，33BF则3(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3),,0,0,3EDBAF3,2,0C，由AE平面BCD可知平面DCB的法向量为EA．设平面ADC的法向量为(,,)nxyz，则0,0.nDCnAD即30,30.xyyz令1z，则3,1yx，所以1,3,1n．平面DCB的法向量为EA所以5cos,5||||EAnnEAEAn，所以二面角ADCB的余弦值为55．⑶设AMAF，其中[0,1]．图1FEDCBA图2ABCDEFyzxEBCA1DF资料分享QQ群141304635联系电话：826188997由于3,0,33AF，所以3,0,33AMAF，其中[0,1]所以3,0,(1)33EMEAAM由0EMn，即3303-(1-）解得3=(0,1)4．所以在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC，且34AMAF．【例11】（2014高考理17）（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，,BC分别为AMMD、的中点，在五棱锥PABCDE中,F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点GH、.⑴求证：ABFG∥；⑵若PA底面ABCDE，且PAAE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.【解析】⑴证明：AMED∥，AM面PED，ED面PED．AM∥面PED．AM面ABF，即AB面ABF，面ABF面PDEFGABFG∥．⑵如图建立空间直角坐标系Axyz，各点坐标如下0,0,0A，0,2,0E，1,0,0B，2,1,0C，0,1,1F，0,0,2P设面ABF的法向量为000,,nxyz，1,0,0AB，0,1,1AFHMPGFEDCBAzyxABCDEFGPMH资料分享QQ群141304635联系电话：82618899800nABnAF，即00xyz