向量自回归模型[1]

1向量自回归模型•传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。•为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本次课所要介绍的向量自回归模型(vectorautoregression，VAR)、向量误差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非结构化的多方程模型。2•向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型•VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。•VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。第一节向量自回归理论3一、VAR模型的一般表示VAR(p)模型的数学表达式是其中：yt是k维内生变量向量，p是滞后阶数，样本个数为T。kk维矩阵A1，…，Ap是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关，假设是t的协方差矩阵，是一个(kk)的正定矩阵。Tt,,2,1tptpttεyAyAy11第一节向量自回归理论4如果行列式det[A(L)]的根都在单位圆外，则上式满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量移动平均(VMA(∞))形式其中ttLεCy)(1)()(LLAC2210)(LLLCCCCkIC0第一节向量自回归理论5对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得矩阵的估计量为其中：当VAR的参数估计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。ttTεεΣˆˆ1ˆptpttttyAyAyAyεˆˆˆˆ2211第一节向量自回归理论6•由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。•注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除（absorbed），所以。扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。第一节向量自回归理论7例9.1我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度～2004年4季度的季度数据，设居民消费价格指数为P(1990年=100)、居民消费价格指数变动率为PR(P/P-1-1)*100)、实际GDP的对数ln(GDP/P)为ln(gdp)、实际M1的对数ln(M1/P)为ln(m1)和实际利率rr(一年期贷款利率R-PR）。利用VAR(3)模型对ln(gdp)，ln(m1)和rr，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。8二、EViews软件中VAR模型的建立和估计1．建立VAR模型为了创建一个VAR对象，应选择Quick/EstimateVAR…或者选择Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：第一节向量自回归理论9可以在对话框内添入相应的信息：(1)选择模型类型（VARType）：(2)在EstimationSample编辑框中设置样本区间(3)输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对14表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。102．VAR估计的输出VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：11表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(logGDPTC_P)的方程中RR_TC(-1)的系数是0.000354。同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：12输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。13例9.1结果如下：3个方程调整的拟合优度分别为：可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。)ln()1ln(928.0038.000035.0068.0029.10048.091.618.23865.10118.00145.064.1)ln()1ln(111ttttttGDPMRRGDPMRR)ln()1ln(752.0138.00029.0329.0562.00086.084.652.1626.1222tttGDPMRRtttttteeeGDPMRR321333)ln()1ln(208.0169.00017.0215.0093.00047.003.1951.15298.0697.0,746.0,986.02212GDPMRRRR14同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei表示第i个方程的残差，i=1，2，3。其结果如表9.1所示。表9.1残差的同期相关矩阵e1e2e3e11-0.23-0.504e2-0.2310.274e3-0.5040.274115从表中可以看到实际利率rr、实际M1的ln(m1)方程和实际GDP的ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。结构向量自回归（SVAR）模型能够解决这个问题。16无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。一、Granger因果检验VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。第二节VAR模型的检验171.Granger因果关系的定义Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由xGranger引起的”或者“x是y的Granger成因”。考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：21)ˆ(1itsiityysMSE(9.3.1)第二节VAR模型的检验18这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger因果定义：如果关于所有的s0，基于(yt，yt-1，…)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)两者得到的yt+s的均方误差相同，则y不是由xGranger引起的。对于线性函数，若有)],,,,,|(ˆ[)],,|(ˆ[111ttttstttstxxyyyEMSEyyyEMSE可以得出结论：x不能Granger引起y。等价的，如果上式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。第二节VAR模型的检验19可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，利用从(t1)至(tp)期的所有信息，得到yt的最优预测：VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是tptpttεyAyAyˆˆˆ110ˆ)(qija(9.3.4)其中是的第i行第j列的元素。)(ˆqijaqAˆTt,,2,1pq，，，21第二节VAR模型的检验202.Granger因果关系检验Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验：H0:H1:至少存在一个q使得pqaq,,2,1,0)(120)(12qa其统计量为)12,(~)12/(/)(1101pTpFpTRSSpRSSRSSS如果S1大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起y。第二节VAR模型的检验213、在EViews中Granger因果检验的操作选择View/LagStructure/GrangerCausalityTests，即可进行Granger因果检验。第二节VAR模型的检验22输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的2统计量。对例9.1进行检验，其结果如下：第二节VAR模型的检验23同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果检验，但是需要先确定滞后阶数，在组中进行检验可得如下结果：第二节VAR模型的检验24例9.3Granger因果检验早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用结构变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。第二节VAR模型的检验25根据实际情况，利用例9.1的数据，基于VAR(3)模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如下表所示。第二节VAR模型的检验26从上表的结果可以看到实际利率不能Granger引起实际M1、实际GDP，其P值分别达到0.4027和0.5612，可以作为外生变量，这与我国实行固定利率制度是相吻合的，即利率不是通过市场来调节的。同时在第三个方程(即GDP方程)中，实际M1外生于实际GDP的概率为0.9037，这可能是因为我国内需不足，大部分商品处于供大于求，因此当对货币的需求扩张时，会由于价格调整而抵消，并不会形成对货币供给的数量调整，因此对产出的影响比较微弱。另外，在样本区间内，货币政策发生了方向性的改变，导致其影响作用出现了抵消和中和，因此M1对GDP没有显著的影响。第二节VAR模型的检