高等数学极限方法总结

1一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0limabaanbn为常数且；5)13(lim2xx；时当不存在，时当，1||1||0limqqqnn；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知)(limxf，)(limxg都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）BAxgxf)]()(lim[（2）BAxgxf)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需BBAxgxf说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）1sinlim0xxx（2）exxx10)1(lim；exxx)11(lim说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限2成立的条件。例如：133sinlim0xxx，exxx210)21(lim，exxx3)31(lim；等等。4．洛比达法则定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当0x时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x～1xe。说明：当上面每个函数中的自变量x换成)(xg时（0)(xg），仍有上面的等价关系成立，例如：当0x时，13xe～x3；)1ln(2x～2x。定理4如果函数)(),(),(),(11xgxfxgxf都是0xx时的无穷小，且)(xf～)(1xf，)(xg～)(1xg，则当)()(lim110xgxfxx存在时，)()(lim0xgxfxx也存在且等于)(xf)()(lim110xgxfxx，即)()(lim0xgxfxx=)()(lim110xgxfxx。5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(xf和)(xg满足：（1）)(xf和)(xg的极限都是0或都是无穷大；（2）)(xf和)(xg都可导，且)(xg的导数不为0；（3）)()(limxgxf存在（或是无穷大）；则极限)()(limxgxf也一定存在，且等于)()(limxgxf，即)()(limxgxf=)()(limxgxf。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否3满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x是函数)(xf的定义去间内的一点，则有)()(lim00xfxfxx。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）(夹逼准则)已知}{,}{,}{nnnzyx为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(,nzxynnn（2）aynnlim，aznnlim则极限nnxlim一定存在，且极限值也是a，即axnnlim。二、求极限方法举例1．利用函数的连续性（定理6）求极限例4xxex122lim解：因为20x是函数xexxf12)(的一个连续点，所以原式=ee42212。2．利用两个重要极限求极限4例5203cos1limxxx解：原式=61)2(122sin2lim32sin2lim220220xxxxxx。注：本题也可以用洛比达法则。例6xxx20)sin31(lim解：原式=6sin6sin310sin6sin310])sin31[(lim)sin31(limexxxxxxxxxx。例7nnnn)12(lim解：原式=313311331])131[(lim)131(limennnnnnnnnn。注：两个重要的极限分别为limsinx12=1和lim(1+)x=e，对第一个而言是x→0x→∞xxX趋近0时候的sinx与x比值。第2个实际上如果x趋近无穷大和无穷小都有对有对应的形式。当底数是1的时候要特别注意可能是用第2个重要极限。3．利用定理2求极限例8xxx1sinlim20解：原式=0（定理2的结果）。4．利用等价无穷小代换（定理4）求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小5之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设~、~且limlim；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：0()．常用等价无穷小：当变量0x时，21sin~,tan~,arcsin~,arctan~,1~,ln(1)~,1cos~,2xxxxxxxxxexxxxx11~,(1)1~xxxxx．例1求01coslimarctanxxxx．解210,1cos~,arctan~2xxxxx时，故，原式220112lim2xxx例2求1230(1)1limcos1xxx．解12223110,(1)1~,1cos~32xxxxx时,因此:原式202123lim132xxx．例3求30131limtanxx．解0,x时3111~,tan~3xxxx，故:原式=0113lim3xxx．例4求201lim2ln(1)xxexx．解0,1~,ln(1)~xxexxx时,故:原式2201lim22xxx．例5试确定常数a与n，使得当0x时，nax与33ln(1)xx为等价无穷小．6解330ln(1)lim1nxxxax而左边225311003331limlimnnxxxxxxnaxnax，故15n即6n0331lim11662xaaa．5.利用洛比达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当xa时，函数()fx及()Fx都趋于0；在点a的某去心邻域内，()fx﹑()Fx的导数都存在且()Fx的导数不等于0；()lim()xafxFx存在，那么()()limlim()()xaxafxfxFxFx.[1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例12203cos1limxxx（例4）解：原式=616sinlim0xxx。（最后一步用到了重要极限）例1312coslim1xxx解：原式=212sin2lim1xx。例1430sinlimxxxx7解：原式=203cos1limxxx=616sinlim0xxx。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15xxxxxxsincossinlim20解：313sinlim3)sin(coscoslimcossinlim202020xxxxxxxxxxxxxxxx原式例18])1ln(11[lim0xxx解：错误解法：原式=0]11[lim0xxx。正确解法：。原式21)1(2lim2111lim)1ln(lim)1ln()1ln(lim0000xxxxxxxxxxxxxxxxx应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19xxxxxcos3sin2lim解：易见：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：xxxsin3cos21lim，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：8原式=xxxxxcos3sin21lim（分子、分母同时除以x）=31（利用定理1和定理2）注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1的形式；（3）的0次方，01的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）6.利用极限存在准则求极限例20已知),2,1(,2,211nxxxnn，求nnxlim解：易证：数列}{nx单调递增，且有界（0nx2），由准则1极限nnxlim存在，设axnnlim。对已知的递推公式nnxx21两边求极限，得：aa2，解得：2a或1a（不合题意，舍去）所以2limnnx。例21)12111(lim222nnnnn解：易见：11211122222nnnnnnnnn9因为1lim2nnnn，11lim2nnn所以由准则2得：1)12111(lim222nnnnn。7.直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(F时，)(xF的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数yfx在点0x的某个领域内有定义，当自变量x在0x处取得增量x（点0xx仍在该领域内）时，相应的函数取得增量00yfxxfx；如果y与x之比0x时的极限存在，则称函数yfx在点0x处可导，并称这个极限为函数yfx在点0x处可导，并称这个极限为函数yfx在点0x处的导数，记作0fx，即00000limlimxxfxxfxyfxxx；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例361fxxxex，求'f.解'f=limlim11xxfxfxxexxex.例37若函数fx有连续二阶导数且0=0f，'0=1f，''0=-2f，则20limxfxxx.A:不存在B：0C：-1D：-2解20limxfxxx'''00101limlim220xxfxfxfxx''1012f.所以，答案为D.例38若()(1)(2).....(2010)fxxxxx，求(0)f.解0()(0)(0)limxfxffx0(1)(2).....(2010)limxxxxxx100lim(1)(2).....(2010)xxxxx2010!.8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33已知21fxx,在区间0,1上求01limniiifx（其中将0,1分为n个小区间1,