高等数学讲义---无穷级数(数学一和数学三)

129第八章无穷级数（数学一和数学三）引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”第一种0)11()11()11(第二种1)11()11()11(1第三种设Sn1)1(1111则S11111,1SS,12S21S这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。1)什么是无穷多项相加？如何考虑？2)无穷多项相加，是否一定有“和”？3)无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。§8.1常数项级数（甲）内容要点一、基本概念与性质1.基本概念无穷多个数,,,,,321nuuuu依次相加所得到的表达式nnnuuuuu3211称为数项级数（简称级数）。nkknuS1123nuuuu（,3,2,1n）称为级数的前n项的部分和，130),3,2,1(nSn称为部分和数列。SuS，，uS，Snnnnnn11)(lim记以且其和为是收敛的则称级数存在若nnSlim若不存在，则称级数1nnu是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）2．基本性质（1）如果11111)(,nnnnnnnnnnnvbua，bvau，b，avu且等于收敛则为常数皆收敛和（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4）级数1nnu收敛的必要条件是0limnnu（注：引言中提到的级数11,)1(nn具有nlim不存在11n，因此收敛级数的必要条件不满足，1n11n发散。调和级数1nn1满足nlim但,01n1nn1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件nlim0nu，而1nnu收敛性尚不能确定。）3．两类重要的级数（1）等比级数（几何级数）0nnar0a当1r时，0nnarra1收敛131当1r时，0nnar发散（2）p一级数11npn当p1时，11npn收敛，当p1时11npn发散（注：p1时，11npn的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知1n6122n）二、正项级数敛散性的判别法,3,2,10nun若则1nnu称为正项级数，这时nnnSnSS所以,3,2,11是单调加数列，它是否收敛就只取决于nS是否有上界，因此1nnnSu收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。1.比较判别法如果皆成立时当设，u，cvNncnn0,01nnv收敛，则1nnu收敛；如果1nnu发散，则1nnv发散。2.比较判别法的极限形式设),3,2,1(,0,0nvunn若nlimAvunn1)当0A+时，1nnu与1nnv同时收敛或同时发散。2)当A=0时，若1nnv收敛，则1nnu收敛。1323)当A=+时，若1nnu收敛，则1nnv收敛。3．比值判别法（达朗倍尔）设nu0，而nlimnnuu11）当1时，则1nnu收敛2）当1时(包括=+)，则1nnu发散3）当=1时，此判别法无效（注：如果nlimnnuu1不存在时，此判别法也无法用）4．根值判别法（柯西）设nu0，而nlimnnu1）当1时，则1nnu收敛2）当1时(包括=+)，则1nnu发散3）当=1时，此判别法无效事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。三、交错级数及其莱布尼兹判别法1．交错级数概念若nu0,1nnnu1)1(称为交错级数。2．莱布尼兹判别法设交错级数1nnnu1)1(满足：1331）1nunu),3,2,1(n2)nlimnu=0，则1nnnu1)1(收敛，且01nnnu1)1(1u四、绝对收敛与条件收敛1．定理若1nnu收敛，则1nnu一定收敛；反之不然。2．定义若1nnu收敛，则称1nnu为绝对收敛；若1nnu收敛，而1nnu发散，则称1nnu为条件收敛。3．有关性质1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即1n21（nu+nu）或1n21（nu—nu）一定是发散的。4．一类重要的级数设1nnn1)1(1）当1时，1nnn1)1(是绝对收敛的2）当01时，1nnn1)1(是条件收敛的3）当0时，1nnn1)1(是发散的（乙）典型例题一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。1341）1n)1()1(1nnnn2）1nnn2121）解：1n)1()1(1nnnn的nSnk1)1()1(1kkkknSnk1221)1()1(kkkkkk=nk1111)111(nkknlimnS11n1)1()1(1nnnn，收敛2）解：nSnn21225232132①21nS1432212232252321nnnn②①-②得21nS132212)212121(221nnn=11123223212)211(21nnnnnnlimnS31nnn212=3，收敛例2设数列11)(nnnn，aan，na证明收敛级数收敛0nna收敛证：由题意可知nlim存在AnannlimnSnlimnkkkSaak11)(存在而nS)()(3)(2)(1231201nnaanaaaaaa=10nkknana135因此，10nkkannSnanlim10nkkanlimnnanlimnSSA于是级数0nna=SA是收敛的二、主要用判别法讨论级数的敛散性例1．设级数1n)0(nnaa收敛，则1nnan收敛解：nan)1(2122nanann（几何平均值算术平均值）已知1n收敛故收敛收敛)1(2112112na，n，annnn再用比较判别法，可知1nnan收敛例2．正项数列na单调减少，且1nnna)1(发散，问1nnna)11(是否收敛？并说明理由。解：知根据莱布尼兹判别法可如果存在又单调减少,0lim,0a，aa，annn1n(1)0,nnaa收敛,与假设矛盾,这样，nnnnaaaa)11()11(,11111由等比级数1nna)11(收敛和比较判别法可知1nnna)11(收敛。例3．设40tanxdxann（1）求1nnaann2的值。（2）证明：对任意正常数,01nnan收敛。136证明：（1）naann2n1402)tan1(tandxxxnn140tantanxxdn)1(1nn1nnaann2=1n)1(1nn=1（2）40tanxdxann1201ntdtt1011ndttnnan11)1(1nnn,111n11n收敛，由比较判别法可知1nnan收敛。例4．设有方程并证明证明方程有唯一正实根正整数其中,,01nnx，nnxx当1时，级数1nnx收敛。:()1nnfxxnx证记10()0nxfxnxn当时,()0,.nfx故在上单调增加(0)10,(1)0,nnffn而由连续函数的介值定理知10nnxnxx存在唯一正实根100nnnnxnxx由与知110,nnnxxnn137110()nxn故当时,11()nn而正项级数收敛,所以当1时，级数1nnx收敛。§8.2幂级数（甲）内容要点一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一）1．函数项级数的概念设)(xun),3,2,1(n皆定义在区间I上，则1n)(xun称为区间I上的函数项级数。2．收敛域设0x，如果常数项级数1n)(0xun收敛，则称0x是函数项级数1n)(xun的收敛点，如果1n)(0xun发散，则称0x是1n)(xun的发散点。函数项级数1n)(xun的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。3．和函数在1n)(xun的收敛域的每一点都有和，它与x有关，因此)(xS1n)(xun，x收敛域称)(xS为函数项级数1n)(xun的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。二、幂级数及其收敛域1．幂级数概念0nnanxx)(0称为)(0xx的幂级数，),2,1,0(nan称为幂级数的系数，是常数，当00x138时，0nnanx称为x的幂级数。一般讨论0nnanx有关问题，作平移替换就可以得出有关0nnanxx)(0的有关结论。2．幂级数的收敛域幂级数0nnanx的收敛域分三种情形：（1）收敛域为),(，亦即0nnanx对每一个x皆收敛，我们称它的收敛半径R（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数0nnanx皆发散，我们称它的收敛半径0R。（3）收敛域为R，RRRRRRRR我们称它的收敛半径为中的一种或或或,,,),()0(R所以求幂级数的收敛半径R非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论R两点上的敛散性。11lim()lim(),(,nnnnnnalalRlal如果包括或包括则收敛半径若0,0),RlR则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛.半径,后面有所讨论三、幂级数的性质1．四则运算设0nnanx021),(;),(nnnRxxgxbRxxf),min()()()())((),min(),()()(2100000210RRxxgxfxbababaxbxaRRxxgxfxbannnknknnnnnnnnnnn则1392.分析性质设幂级数0nnanx的收敛半径R0，S(x)=0nnanx为和函数，则有下列重要性质。（1）且有逐项求导公式内可导在，RRxS),()()(xS0110)()(nnnnnnnnnxnaxaxa求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出公式为内有任意阶导数在，RRxS),()(),3