-1-2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.(1)若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在x=0连续,则(A)12ab(B)12ab(C)0ab(D)2ab(2)设二阶可到函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff且()0fx,则(A)11()0fxdx(B)12()0fxdx(C)0110()()fxdxfxdx(D)1110()()fxdxfxdx(3)设数列nx收敛,则(A)当limsin0nnx时,lim0nnx(B)当lim()0nnnnxxx时,则lim0nnx(C)当2lim()0nnnxx,lim0n(D)当lim(sin)0nnnxx时,lim0nnx(4)微分方程248(1cos2)xyyyex的特解可设为ky(A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx(B)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx(C)22(cos2sin2)xxAexeBxCx(D)22(cos2sin2)xxAxexeBxCx(5)设()fx具有一阶偏导数,且在任意的(,)xy,都有(,)(,)0,fxyfxyxy则(A)(0,0)(1,1)ff(B)(0,0)(1,1)ff-2-(C)(0,1)(1,0)ff(D)(0,1)(1,0)ff(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中,实线表示甲的速度曲线1vvt(单位:m/s)虚线表示乙的速度曲线2vvt,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t(单位:s),则(A)010t(B)01520t(C)025t(D)025t051015202530()ts(/)vms1020(7)设A为三阶矩阵,123(,,)P为可逆矩阵,使得1000010002PAP,则123(,,)A(A)12(B)232(C)23(D)122(8)已知矩阵200021001A,210020001B,100020000C,则(A)A与C相似,B与C相似(B)A与C相似,B与C不相似(C)A与C不相似,B与C相似(D)A与C不相似,B与C不相似二、填空题:9~14题,每小题4分,共24分.(9)曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为(10)设函数()yyx由参数方程sintxteyt确定,则202tdydx-3-(11)20ln(1)1xdxx=(12)设函数,fxy具有一阶连续偏导数,且,1,0,00yydfxyyedxxyedyf,则,fxy=(13)110tanyxdydxx(14)设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112,则a三、解答题:15~23小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求030limxtxxtedtx(16)(本题满分10分)设函数,fuv具有2阶连续性偏导数,y,xfecosx,求0dydxx,220dydxx(17)(本题满分10分)求21limln1nnkkknn(18)(本题满分10分)已知函数由方程确定,求的极值(19)(本题满分10分)()fx在0,1上具有2阶导数,0()(1)0,lim0xfxfx,证明(1)方程()0fx在区间(0,1)至少存在一个根(2)方程2()()()0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根(20)(本题满分11分)已知平面区域22,2Dxyxyy,计算二重积分21Dxdxdy(21)(本题满分11分)设()yx是区间3(0,)2内的可导函数,且(1)0y,点P是曲线:()Lyyx上的任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点(0,)PY,法线与x轴相交于点(,0)PX,若pPXY,求L上点的坐标(,)xy满足的方程。-4-(22)(本题满分11分)三阶行列式123(,,)A有3个不同的特征值,且3122(1)证明()2rA(2)如果123求方程组Axb的通解(23)(本题满分11分)设132221232121323(,,)2282fxxxxxaxxxxxxx在正交变换xQy下的标准型为221122yy求a的值及一个正交矩阵Q.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合要求的.(1)设1(cos1)axx,32ln(1)axx,3311ax.当0x时,以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是(A)123,,aaa.(B)231,,aaa.(C)213,,aaa.(D)321,,aaa.(2)已知函数2(1),1,()ln,1,xxfxxx则()fx的一个原函数是(A)2(1),1.()(ln1),1.xxFxxxx(B)2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx(C)2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx(D)2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx(3)反常积分1021xedxx①,1+201xedxx②的敛散性为(A)①收敛,②收敛.(B)①收敛,②发散.(C)①收敛,②收敛.(D)①收敛,②发散.(4)设函数()fx在(,)内连续,求导函数的图形如图所示,则-5-(A)函数()fx有2个极值点,曲线()yfx有2个拐点.(B)函数()fx有2个极值点,曲线()yfx有3个拐点.(C)函数()fx有3个极值点,曲线()yfx有1个拐点.(D)函数()fx有3个极值点,曲线()yfx有2个拐点.(5)设函数()(1,2)ifxi具有二阶连续导数,且0()0(1,2)ifxi,若两条曲线()(1,2)iyfxi在点00(,)xy处具有公切线()ygx,且在该点处曲线1()yfx的曲率大于曲线2()yfx的曲率,则在0x的某个领域内,有(A)12()()()fxfxgx(B)21()()()fxfxgx(C)12()()()fxgxfx(D)21()()()fxgxfx(6)已知函数(,)xefxyxy,则(A)''0xyff(B)''0xyff(C)''xyfff(D)''xyfff(7)设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是(A)TA与TB相似(B)1A与1B相似(C)TAA与TBB相似(D)1AA与1BB相似(8)设二次型222123123122313(,,)()222fxxxaxxxxxxxxx的正、负惯性指数分别为1,2,则(A)1a(B)2a(C)21a-6-(D)1a与2a二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。(9)曲线322arctan(1)1xyxx的斜渐近线方程为____________.(10)极限2112lim(sin2sinsin)nnnnnnn____________.(11)以2xyxe和2yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.(12)已知函数()fx在(,)上连续,且20()(1)2()dxfxxftt,则当2n时,()(0)nf____________.(13)已知动点P在曲线3yx上运动,记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数0v,则当点P运动到点(1,1)时,l对时间的变化率是_______.(14)设矩阵111111aaa与110011101等价,则_________.a解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)(16)(本题满分10分)设函数1220()(0)fxtxdtx,求'()fx并求()fx的最小值.(17)(本题满分10分)已知函数(,)zzxy由方程22()ln2(1)0xyzzxy确定,求(,)zzxy的极值.(18)(本题满分10分)设D是由直线1y,yx,yx围成的有界区域,计算二重积分2222.Dxxyydxdyxy(19)(本题满分10分)已知1()xyxe,2()()xyxuxe是二阶微分方程(21)(21)'20nxyxyy的解,若(1)ue,(0)1u,求()ux,并写出该微分方程的通解。(20)(本题满分11分)设D是由曲线21(01)yxx与33cos02sinxttyt围成的平面区域,求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。-7-(21)(本题满分11分)已知()fx在3[0,]2上连续,在3(0,)2内是函数cos23xx的一个原函数(0)0f。(Ⅰ)求()fx在区间3[0,]2上的平均值;(Ⅱ)证明()fx在区间3(0,)2内存在唯一零点。(22)(本题满分11分)设矩阵11110111aAaaa,0122a,且方程组Ax无解。(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求方程组TTAAxA的通解。(23)(本题满分11分)已知矩阵011230000A(Ⅰ)求99A(Ⅱ)设3阶矩阵123(,,)B满足2BBA。记100123(,,)B,将123,,分别表示为123,,的线性组合。2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是()(A)21dxx(B)2lnxdxx(C)21lndxxx(D)2xxdxe(2)函数20sin()lim(1)xtttfxx在(,)内()(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点(3)设函数1cos,0()0,0xxfxxx(0,0),若()fx在0x处连续,则()-8-(A)1(B)01(C)2(D)02(4)设函数()fx在(,)连续,其二阶导函数()fx的图形如右图所示,则曲线()yfx的拐点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(5).设函数(uv)f,满足22(,)yfxyxyx,则11uvfu与11uvfv依次是()(A)12,0(B)0,12(C)-12,0(D)0,-12(6).设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域,函数(,)fxy在D上连续,则(,)Dfxydxdy=()(A)12sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr(B)1sin22142sin2(cos,sin)dfrrdr(C)13sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr