考研数学强化班高等数学讲义

第一讲极限与连续主要内容概括一、极限1极限的概念1)数列极限:Aannlim：0,0N,当Nn时，恒有||Aan.2）函数极限:（1）Axfx)(lim：0,0X,当Xx||时，恒有|)(|Axf.类似的定义Axfx)(lim，Axfx)(lim。Axfx)(lim)(limxfxAxfx)(lim（2）Axfxx)(lim0：0,0,当||00xx时，恒有|)(|Axf。左极限：)(lim0xfxx)(0xf(或)0(0xf)右极限：)x(flimxx0)(0xf(或)0(0xf)AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000几个值得注意的极限：xexxx1arctanlim,lim010，.1lim,arctanlim,lim2xxxexxxx2极限的性质1）局部有界性若)(lim0xfxx存在，则)(xf在0x某去心邻域有界。2）保号性设Axfxx)(lim0（1）如果0A,则存在0,当),(0xUx时，0)(xf.（2）如果当),(0xUx时,0)(xf,那么0A.3）有理运算性质若BxgAxf)(lim,)(lim.那么:BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[BAxgxfxgxf)(lim)(lim)]()(lim[)0()(lim)(lim)()(limBBAxgxfxgxf两个常用的结论：1）)()(limxgxf存在，;0)(lim0)(limxfxg2);0)(lim0)(lim,0)()(limxgxfAxgxf4）极限值与无穷小之间的关系;)()()(limxAxfAxf.其中.0)(limx注：数列极限也有以上对应的四条性质。3极限的存在准则1）夹逼准则：若存在N，当Nn时，nnnzyx，且,limlimazxnnnn则.limaynn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。4常用的基本极限1sinlim0xxx,exxx1)1(lim0,exxx)11(lim1)1ln(lim0xxx,11lim0xexx,axaxxln1lim0,1)1(lim0xxx.1limnnn5无穷小量1）无穷小量的概念:若0)(lim0xfxx，则称)(xf为0xx时的无穷小量.2)无穷小的比较:设0)(lim,0)(limxx，且0)(x.（1）高阶：若0)()(limxx；记为));(()(xx（2）同阶：若0)()(limCxx；（3）等价：若1)()(limxx；记为);(~)(xx（4）无穷小的阶:若0)]([)(limCxxk，称)(x是)(x的k阶无穷小.3）常用的等价无穷小：当0x时,xxxxxarctan~arcsin~tan~sin~;1~)1ln(~xex,21~cos12xx,~1)1(xx,ln~1axax，4）等价无穷小代换若,~,~则limlim5)无穷小的性质:（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.6无穷大量1)无穷大量的概念:若)(lim0xfxx，称)(xf为0xx时的无穷大量；2）常用的一些无穷大量的比较（1）当x时xaxxln其中.1,0,0a（2）当n时nnnnann!ln其中.1,0,0a3）无穷大量与无界变量的关系：无穷大量无界变量4）无穷大量与无穷小量的关系：在同一极限过程中，如果)(xf是无穷大，则)(1xf是无穷小；反之，如果)(xf是无穷小，且,0)(xf则)(1xf是无穷大；二、连续1连续的定义:若)()(lim00xfxfxx（或0lim0yx）则称)(xf在0x处连续。左连续:若),()(lim00xfxfxx则称)(xf在0x处左连续。右连续:若),()(lim00xfxfxx则称)(xf在0x处右连续。)(xf连续)(xf左连续且右连续2间断点（)(xf在0x某去心邻域有定义，但在0x处不连续）1）第一类间断点:左,右极限均存在的间断点可去间断点:左极限=右极限跳跃间断点:左极限右极限2）第二类间断点:左、右极限中至少有一个不存在的间断点无穷间断点:0xx时,)(xf振荡间断点:0xx时,)(xf振荡3连续函数性质1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数；2)基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义区间内是连续的；3）有界性：若)(xf在],[ba上连续,则)(xf在],[ba上有界。4）最值性:若)(xf在],[ba连续,则)(xf在],[ba上必有最大值和最小值。5）介值性:若)(xf在],[ba连续,且)()(bfaf，则对)(af与)(bf之间任一数,C至少存在一个),,(ba使得.)(Cf推论：若)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba可取到介于最小值m与最大值M之间的任何值.6）零点定理:若)(xf在],[ba连续,且0)()(bfaf,则必),(ba，使0)(f。重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题1．求下列极限：（1）)12)(12(1531311limnnn；2．求下列极限：（1）nnnnn22241241141lim；3．求下列极限：（1）22222212111limnnnnn；（2）nnnn!lim；（3）ninnin1211lim。类型二：利用重要极限求极限的问题1．求下列极限：（1）)0(2cos2cos2coslim2xxxxnn；（2）nnnnnn1sin)1(lim1；2．求下列极限：（1）xxxcos1120sin1lim；（3）)21ln(103sin1tan1limxxxxx；（4）21coslimxxx；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题1．求下列极限：（1）)cos1(sin1tan1lim0xxxxx；（2）)cos1(limtan0xxeexxx；（3）]1)3cos2[(1lim30xxxx；（4）)tan11(lim220xxx；（5）203)3(limxxxxx；（6）设Aaxxfxx1)sin)(1ln(lim0，求20)(limxxfx。2．求下列极限：xxexxxsincoslim3202类型四：极限存在性问题：1．设01,111nnxxx，证明数列}{nx收敛，并求nnxlim。2．设)(xf在),0[上单调减少、非负、连续，),2,1()()(11ndxxfkfannkn，证明：nnalim存在。类型五：夹逼定理求极限问题：1．求101sinlimdxxxnn；2．),,()(lim1非负cbacbannnnn；3．)0(21lim2xxxnnnn。类型六：含参数的极限问题：1．设0)3sin(lim230baxxxx，求ba,；2．设3)11lim2baxxxx，求ba,；类型七：中值定理法求极限：1、)1arctan(arctanlim2nnnn；2、)(lim1211212xxxeex。类型八：变积分限函数求极限：1、)x)(xtanx(xxtdtcoselimxtx112200。2、设)(xf连续，且1)1(f，则1)(lim3111xdtxtfxx。二、连续与间断的判断1．设01,110,00,)1ln()(xxxxxxxxxf，讨论函数)(xf在0x处的连续性。2．讨论0,10,)12()12()(11xxxfxx在0x处的连续性。三、连续性命题的证明1．设),[)(aCxf且)(limxfx存在，证明)(xf在),[a上有界。2．设)(xf在],[ba上连续，任取0,0qp，证明：存在),(ba，使得)())()()(fqpbqfapf。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复习一、导数与微分的概念1导数概念：)(0xfxxfxxfx)()(lim000=xyxxxfxfxxx000lim)()(lim0；左导数：)(0xfxxfxxfx)()(lim000；右导数：)(0xfxxfxxfx)()(lim000；可导左右导数都存在且相等2微分的概念：若)()()(00xxAxfxxfy，则称)(xf在0x处可微。其中xA称为)(xf在0x处的微分，记为xAyd3导数与微分的几何意义:(会求切线、法线方程).1）导数)(0xf在几何上表示曲线)(xfy在点))(,(00xfx处切线的斜率。2）微分dxxfdy)(0在几何上表示曲线)(xfy的切线上的增量。)()(00xfxxfy在几何上表示曲线)(xfy上的增量。dyy4连续,可导,可微之间的关系二、微分法1求导公式1）0)(C2）1)(xx3）aaaxxln)(4）xxee)(5）axxaln1)(log6)xx1)(ln7)xxcos)(sin8)xxsin)(cos9)xx2sec)(tan10)xx2csc)(cot11）xxxtansec)(sec12）xxxcotcsc)(csc13)211)(arcsinxx14)211)(arccosxx15)211)(arctanxx16)211)cot(xxarc2求导法则1．有理运算法则：设)(),(xvvxuu在x处可导，则1）vuvu)(2）vuvuuv)(3)2)(vvuvuvu)0(v2．复合函数求导法：设)(xu在x处可导，)(ufy在对应点处可导，则复合函数)]([xfy在x处可导，且)()(xufdxdududydxdy3．隐函数求导法：设)(xyy是由方程0),(yxF所确定的可导函数，为求得y，可在方程0),(yxF两边对x求导，可得到一个含有y的方程，从中解出y即可。注：y也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式yxFFdxdy得到。4．反函数的导数：若)(yx在某区间内单调、可导，且0)(y，则其反函数)(xfy在对应区间内也可导，且)(1)(yxf；即dydxdxdy15．参数方程求导法：设)(xyy是由参数方程)()(tytx，)(t确定的函数，则1)若)(t和)(t都可导，且0)(t，则)()(ttdxdy2）若)(t和)(t二阶可导，且0)(t，则)(1))()((22tttdtddxyd)()()()()(3ttttt6．对数求导法：如果)(xyy的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数取对数，然后两边对x求导。7．高阶导数：1）定义：xxfxxfxfnnxn