数列复习

数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。3、等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。4、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。5、等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（3）当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.（6）若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。2、等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。3、等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4、等比中项：若,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。5.等比数列的性质：（1）当mnpq时，则有mnpqaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.(2)若10,1aq，则{}na为递增数列；若10,1aq,则{}na为递减数列；若10,01aq，则{}na为递减数列；若10,01aq,则{}na为递增数列；若0q，则{}na为摆动数列；若1q，则{}na为常数列.(3)当1q时，baqqaqqaSnnn1111，这里0ab，但0,0ab，是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS，判断数列{}na是否为等比数列。(6)在等比数列{}na中，当项数为偶数2n时，SqS偶奇；项数为奇数21n时，1SaqS奇偶.(7)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列知识点巩固：1、已知等差数列}{na中，12497,1,16aaaa则的值是()A.15B.30C.31D.642、在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=()A.33B.72C.84D.1893、已知等差数列na的公差为2,若431,,aaa成等比数列,则2a=()A.–4B.–6C.–8D.–104、如果数列}{na是等差数列，则()A.5481aaaaB.5481aaaaC.5481aaaaD.5481aaaa5、已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则=A．35B.33C.31D.296、设数列的前n项和，则的值为{}na2312aaa4a7a545S{}na2nSn8a（A）15(B)16(C)49（D）647、数列}{na的前n项和是4,6,33aSSn，则数列的公差是8、设等差数列}{na的前n项和是nS，若6,11641aaa，则当nS取得最小值时，________n9、设等差数列}{na的前n项和是nS，且_____________,55935SSaa则10、已知各项为正数的等比数列}{na，,10,5987321aaaaaa则_______654aaa11、设nS是等比数列}{na的前n项和，,0852aa则_________25SS12、已知等比数列{}na，22a，5128a（1）求通项na；（2）若2lognnba，数列{}nb的前n项的和为nS，且360nS，求n的值.13、已知数列))}1({log*2Nnan为等差数列，且.9,331aa求数列}{na的通项公式14、在数列{an}，已知a1=-1，an+an+1+4n+2=0。(1)若bn=an+2n，求证：{bn}为等比数列，并写出{bn}的通项公式；(2)求{an}的通项公式。15、已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.16、已知数列{an}的前n项和Sn＝25n－2n2.(1)求证：{an}是等差数列；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.17、设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，}{nb为等比数列，且.)(,112211baabba（Ⅰ）求数列}{na和}{nb的通项公式；（Ⅱ）设nnnbac，求数列}{nc的前n项和Tn.三、求数列的通项公式法①；例：已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式)2()111nSSnSannn（例：设是数列的前项和，，.⑴求的通项；⑵设，求数列的前项和.例.【2015高考广东，理21】数列na满足*1212242nnnaananN，(1)求3a的值；(2)求数列na前n项和nT；练习：1.【2015高考山东，理18】设数列na的前n项和为nS.已知233nnS,=na2.【2015高考新课标2，理16】设nS是数列na的前n项和，且11a，11nnnaSS，则nS________．3.设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．nSnan11a)2(212nSaSnnnna12nSbnnnbnnT4.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m类型)(1nfaann（迭加法或迭代法）例1：已知数列na满足211a，naann1，求na练习1：已知数列na中，，求数列na的通项公式；31,0()(aaxfx1a}{nancnf)(}{nb)0(nbcnnSnS1nSnS1nS2n}{na}{nb}11nnbbnnTnT20091000n)2(12,211nnaaann2.【2015江苏高考，11】数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列}1{na的前10项和为3.在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．求数列na的通项公式；类型nnanfa)(1（累乘法）例1：已知数列na满足321a，nnanna11，求na练习2：已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；⑤待定系数法；②；③；④.例1：已知数列na中12a，1(21)(2)nnaa，123n，，，…．求na的通项公式；qpaann1nnnqpaa1)(1nfpaannnnnaqapa12例2：设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na例3：已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。例4：（08四川）设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（Ⅰ）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（Ⅱ）求na的通项公式例5：已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na例6．（08广东）设pq，为实数，，是方程20xpxq的两个实根，数列{}nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（34n，，…）．（1）证明：p，q；（2）求数列{}nx的通项公式；练习：1、已知数列na满足11a，且132nnaa，求na2、已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na3、已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；类型取对数法例已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。练习：1、已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。类型取倒法11nnnaaacad（倒序法）例已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。例已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！练习：1、设数列}{na满足,21a),N(31naaannn求.na2、数列na满足12a，1121()22nnnnnaana，求na的通项公式.na,11a1211nnnaaana类型不动点法hraqpaannn1例1：已知数列满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.例2：已知数列中，，设，求数列的通项公式；练习1、数列).1(0521681}{111naaaaaannnnn且满足记).1(211nabnn（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列}{nb的通项公式及数列}{nnba的前n项和.nS}{nana1111,nnaaca51,22nncbanb练习2、已知数列}{na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列}{na不存在？数列的前n项和类型倒序相加例1已知函数32()232412fxxxx，求12320122013()()()()()20132013201320132013fffff例2函数()fx对任意的xR都有1()(1)2fxfx（1）求1()2f的值；（2）若数列}{na满足11(0)()()(1)nnaffffnn，问数列}{na是等差数列.练习1：求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值练习2：设1()22xfx，求(7)(6)(0)(1)(8)fffff的值.类型分组求和法例1：求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，例2：已知等差数列}{na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列。（I）求数列}{na的通项公式；（II）令nb=,4)1(11nnnaan求数列}{nb的前n项和nT。例3：求数列121nnn的前n项和.练习1：已知