管理统计学-方差分析

第六章方差分析本章主要内容单因素试验的方差分析(one-wayANOVA)两因素试验的方差分析(multipleANOVA)第一节单因素试验的方差分析化工产品的数量和质量反应温度压力原料成分原料剂量溶液浓度操作水平反应时间机器设备一、单因素方差分析目的检验单个控制因素的改变是否会给观察变量带来显著影响.方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别各个有关因素对试验结果的影响程度.试验指标——试验中要考察的指标.因素——影响试验指标的条件.因素可控因素不可控因素水平——因素所处的状态.单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.例1设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示.表1铝合金板的厚度机器Ⅰ机器Ⅱ机器Ⅲ0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262试验指标:薄板的厚度因素:机器水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平假定除机器这一因素外,其他条件相同,属于单因素试验.试验目的:考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异.即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响.在每一个水平下进行独立试验,结果是一个随机变量.例1表1铝合金板的厚度机器Ⅰ机器Ⅱ机器Ⅲ0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.2670.262问题分析将数据看成是来自三个总体的样本值..,,321设总体均值分别为.,,:,:32113210不全相等HH检验假设数学模型jAAAAsAjs(,,,,21在水平个水平有设因素得到如下表次独立试验进行下,)2(,),,2,1jjnns.的结果表2观察结果水平样本总和样本均值总体均值1A2AsA11X21X11nX12X22X22nXsX1sX2snsX1T2TsT1X2XsX12s假设;),,(),,2,1(,,,,),,2,1(.122221均未知与的正态总体均值分别为来自具有相同方差下的样本各个水平jjjjnjjjNsjXXXsjAj..2下的样本之间相互独立不同水平jA　　　　　　均未知与独立各～.,,,2,1,,,2,1,,),0(,22jjijijijjijsjniNX单因素试验方差分析的数学模型需要解决的问题.,,,:,:211210不全相等ssHH检验假设数学模型的等价形式.1,11sjjjsjjnnnn记总平均,1,2,,.jjjs11220.ssnnn.,平均的差异平均值与总下的总体表示水平应的效水平jjAA21,(0,),,1,2,,,1,2,,,0.ijjijijijjsjjjXNinjsn～各独立　　　　　　　　　　　均未知与独立各～.,,,2,1,,,2,1,,),0(,22jjijijijjijsjniNX原数学模型改写为012112:,:,,,.rrHH不全相等检验假设等价于检验假设0121H:0H:0(1,2,,).riir至少有一个是否成立的问题—误差平方和—效应平方和二、平方和的分解—总平方和11E(Q+inrTijijAQXXQ211)(iniinjijEXXQ21)(XXnQiriiA),,2,1(11riXnXinjijiirinjijiXnX111—总平均—组内平均2)(rnEQE221)1(arnEQiriiA2)(rnQEEriiiAnrrQE122111当H0成立时,即a1=a2=…ar=0时,21rnQErQEEA,当H0不成立时rnQErQEEA1,)/()1/(rnQrQQQFEAEA在Ho成立条件下,统计量F服从自由度为),1(rnr的F分布.若)1,1(nrFF,则接受假设Ho,即可认为在显著水平下,因素的不同对试验结果无显著影响.若)1,1(nrFF,则拒绝假设Ho,即可认为在显著性水平下,因素的不同水平对试验结果有显著影响.单因素试验方差分析表方差来源组间组内总和平方和自由度均方F比AQEQTQ1rnr1n1AAQQrQQrEEnQQAEF三、多重比较方差分析拒绝，从而接受时，认为各水平均值不全相等。多重比较是通过对各均值之间的配对比较来进一步检验到底那些均值之间有显著差异0H1HjiijjiijHH:,:10AnalyzeComparedMeansOne-WayAnovaDependentList:选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（因变量）。Factor:选入需要比较的分组因素，只能选入一个。基本操作其他操作【PostHoc】多重比较检验EqualVariancesAssumed:当各组方差齐时可用的两两比较方法，共有14中种这里不一一列出了，其中最常用的为LSD和S-N-K法。EqualVariancesNotAssumed:当各组方差不齐时可用的两两比较方法，共有4种，其中以Dunnetts'sC法较常用。SignificanceLevel:定义两两比较时的显著性水平，默认为0.05。其他操作【Options】选项Statistics:选择一些附加的统计分析项目，有统计描述（Descriptive）和方差齐性检验（Homogeneity-of-variance）。Meansplot:用各组均值做图，以直观的了解它们的差异。MissingValues:分析中对缺失值的处理方法，其他操作【Contrast钮】趋势检验和先验对比检验Polynomial:趋势检验。Coefficients框:先验对比检验,这里按照分组变量升序给每组一个系数值，注意最终所有系数值相加应为0。如果不为0仍可检验，只不过结果是错的。例1：有5种油菜品种,分别在4块试验田上种植,所得亩产量如表3所示(单位:㎏).试问不同油菜品种对平均亩产影响是否显著?例题分析表6.35种油菜在4块试验田上的产量表田块品种1234A1A2A3A4A5256244250288206222300277280212280290230315220298275322259212操作步骤1）定义两个变量：X1变量，取值1、2、3、4、5分别代表5个品种，标签为“品种”。x2变量其值为亩产量，标签为“亩产量”。2）按AnalyzeComparedMeansOne-WayAnova顺序打开“单因素分析”主对话框。3）从源变量框中选取x2入DependentList框中；选取x1变量入Factor框中，单击“OK”运行。4）输出结果及分析单因素方差分析结果说明：第一列：方差来源；第二列：离差平方和；第三列：自由度；第四列：均方；第五列：F值；第六列：显著值，是F统计量的P值。第二节双因素试验的方差分析例1一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下（以海里计）.表火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4试验指标:射程因素:推进器和燃料水平:推进器有3个,燃料有4个双因素试验试验目的:考察推进器和燃料两因素对射程有无显著的影响.检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一组合至少要做两次试验.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验的方差分析.一、双因素无重复试验的方差分析表9.14因素B因素A1ArA2A1B2BsB11X21X1rX12X22X2rXsX1sX2rsX假设.,,1,,,1),,(2sjriNXijij～.,,2均为未知参数独立各ijijX,),,0(,,,2,1,,,2,1,2独立各～ijijijijijNsjriX.,0,jiijij由于不存在交互作用.0,0,,,2,1,,,2,1,),,0(,112sjjriiijijijjiijsjriNX独立各～双因素无重复试验方差分析的数学模型检验假设.,,,:,0:21112101不全为零rrHH.,,,:,0:21122102不全为零ssHH),,2,1(11.riXsXsjijisjjriirisjijriijjXsXrXrsXsjXrX1.1.111.111,,2,1(1记TQrisj112)(XXijABEQQQ212.12.11(.)()(.)rAiisBjjrsEijijijQsXXQrXXQXXXX—因素A引起的离差平方和—因素B引起的离差平方和—随机误差平方和,,1122riiAarsQE,1122sjjBsrQE2EQE当01H成立时EAEAAQQsrQrQF)1)(1/()1/(EBEBBQQsrQsQF)1)(1/()1/())1)(1(,1(~srrFFA))1)(1(,1(~srsFFB))1)(1(,1(srrFFaA则拒绝,01H即认为因素A对试验结果有显著影响。))1)(1(,1(srrFFaA则接受,01H，即认为因素A对试验结果无显著影响。若))1)(1(,1(srsFFaB则拒绝02H，即认为因素B对试验结果有显著影响；若))1)(1(,1(srsFFaB则接受02H，即认为因素B对试验结果无显著影响。表双因素无重复试验的方差分析表方差来源离差平方和自由度均方误差F值显著性因素A21)(XXsQriiA1r1rQQAAEAAQQF因素B21)(XXrQriiB1s1sQQBBEBBQQF误差.(1irisjijEXXQ2.)XXj)1)(1(sr)1)(1(srQQEE总和211)(XXQrisjijT1rs【FixedFactors】即固定因素，绝大多数要分析的因素都应该往里面选。基本操作Analyze→GeneralLinearModel→Univariate【Dependent】即因变量，观测值要选在里面【RandomFactors框】用于选入随机因素【Covariate框】用于选入协方差分析时的协变量基本操作【WLSWeight框】用于选入最小二乘法权重系数。基本操作【Model钮】用于设置在模型中包含哪些主效应和交互因子，Fullfactorial:即分析所有的主效应和交互作用。Custom:自定义模型Factors&Covariates:因素变量和协变量变量名BuildTerm:该框用于选择进入模型的因素交互作用级别，即是分析主效应、交互作用,两阶交互、三阶交互、还是全部分析.基本操作Sumofsquares:选择方差分析模型类别，有1型到4型四种，Includeinterceptinmodel:用于选择是否在模型中包括截距，不用改动，默