电磁场习题解答

电磁场习题解答第1页1—2—2、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（ab），每单位长度上电荷：内柱为而外柱为。解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为l半径为r（bra）且与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得lSDsd考虑到此问题中的电通量均为re即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面的积分为0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是lrDl2即rerD2，rerE02由此可得abreerrEUbarrbaln2d2d001—2—3、高压同轴线的最佳尺寸设计——高压同轴圆柱电缆，外导体的内半径为cm2，内外导体间电介质的击穿场强为kV/cm200。内导体的半径为a，其值可以自由选定但有一最佳值。因为a太大，内外导体的间隙就变得很小，以至在给定的电压下，最大的E会超过介质的击穿场强。另一方面，由于E的最大值mE总是在内导体的表面上，当a很小时，其表面的E必定很大。试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中的束缚电荷能够电磁场习题解答第2页脱离它的分子而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度）。解：同轴电缆的横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为rE2，aE2max而内外导体之间的电压为abrrrEUbabaln2d2d或)ln(maxabaEU0]1)[ln(addmaxabEU即01lnab，cm736.0ebaV)(1047.1102736.0ln55maxmaxabaEU1—3—3、两种介质分界面为平面，已知014，022，且分界面一侧的电场强度V/m1001E，其方向与分界面的法线成045的角，求分界面另一侧的电场强度2E的值。电磁场习题解答第3页解：25045sin10001tE，25045cos10001nE220040101nnED根据ttEE21，nnDD21得2502tE，220002nD，21002022nnDE于是：V/m)(1050)2100()250(2222222ntEEE1—8、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度：（1）、2Ax（2）、Axyz（3）、BrzArsin2（4）、cossin2Ar解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。（1）、iAxixAxkzjyixE2)()(200002)2()(AAxxxEzEyExEDxzyx（2）、)(kzjyixE)(kzAxyzjyAxyzixAxyz)(kxyjxziyzA电磁场习题解答第4页0)]()()([0AxyzAxzyAyzxD（3）、)1[kzererEreBrzArreBrzArrr)sin(1)sin([22)])sin(2kBrzArz)]cos)sin2[(kBreAreBzArr)cos(1)sin2(1[0ArrBzArrrrD)](Brz]sin)sin4(1[0ABzArr]sin)sin4[0ArBzA（4）、]sin11[rerereEr)cossin(1)cossin([22ArreArrer)]cossin(sin12ArreeArreArr)coscos(1)cossin2[(2])sinsin(sin12eArr])sin()coscos()cossin2[(eAreAreArr电磁场习题解答第5页)](sin1)sin(sin1)(1[220ErErErrrDr)sincoscos(sin1)cossin2(1[320ArrArrr)]sin(sin1Arr]sincos)sin(cossincoscossin6[220AAA1—4—2、两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板的电位为0，另一板的电位为0V，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即xx0)(。试求两极板之间的电位分布（注：0x处板的电位为0）。解：电位满足的微分方程为xx0022dd其通解为：213006CxCx定解条件为：00x；0Vdx由00x得02C由0Vdx得01300V6dCd，即200016dVdC于是xddx)6V(620003001—4—3、写出下列静电场的边值问题：电磁场习题解答第6页（1）、电荷体密度为1和2（注：1和2为常数），半径分别为a与b的双层同心带电球体（如题1—4—3图（a））；（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为1与2的均匀介质，内球壳带总电量为Q，外球壳接地（题1—4—3图b））；（3）、半径分别为a与b的两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度的电量为，外圆柱面导体接地（题1—4—3图（c））。电磁场习题解答第7页解：（1）、设内球中的电位函数为1，介质的介电常数为1，两球表面之间的电位函数为2，介质的介电常数为2，则1，2所满足的微分方程分别为1112，2222选球坐标系，则11212212122sin1)(sinsin1)(1rrrrrr22222222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr由于电荷对称，所以1和2均与、无关，即1和2只是r的函数，所以11122)(1rrrr，22222)(1rrrr定解条件为：分界面条件：arar21；ararrr2211电位参考点：02br；附加条件：01r为有限值（2）、设介电常数为1的介质中的电位函数为1，介电常数为2的介质中的电位函数为2，则1、2所满足的微分方程分别为1112，2222选球坐标系，则电磁场习题解答第8页0sin1)(sinsin1)(1212212122rrrrrr0sin1)(sinsin1)(1222222222rrrrrr由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以1和2均与、无关，即1和2只是r的函数，所以0)(1122rrrr，0)(1222rrrr分界面条件：2221由分解面条件可知21。令21，则在两导体球壳之间电位满足的微分方程为0)(122rrrr电位参考点：0br；边界条件：QEEaarrr)(2212，即Qraar)()(2212（3）、设内外导体之间介质的介电常数为，介质中的电位函数为，则所满足的微分方程分别为02，选球柱坐标系，则01)(122222zrrrrr电磁场习题解答第9页由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中的电位和及z无关，即只是r的函数，所以0)(1rrrr电位参考点：0br；边界条件：arrEa2，即arra)(21－7－3、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷1q和2q，与导体平板的距离均为d，求空间的电位分布。解：设接地平板及1q和2q如图（a）所示。选一直角坐标系，使得z轴经过1q和2q且正z轴方向由2q指向1q，而x，y轴的方向与z轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x，y平面内。计算0z处的电场时，在（d,0,0）处放一镜像电荷1q，如图（b）所示，用其等效1q在导体平板上的感应电荷，因此))(1)(1(4222222011dzyxdzyxq计算0z处的电场时，在（d,0,0）处放一镜像电荷2q如图（c）所示，用电磁场习题解答第10页其等效2q在导体平板上的感应电荷，因此))(1)(1(4222222022dzyxdzyxq1－7－5、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2厘米，轴线间距离为12厘米。若导线间加1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最远的点的电荷面密度。解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部的电场时可将它们看成两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴的位置及坐标如图所示。由于对称cm6212h而cm24262222Rhb设负电轴到点),(yxp的距离矢量为2r，正电轴到点),(yxp的距离矢量为1r（p点应在以R为半径的两个圆之外），则p点的电位为22220120)()(ln2)ln(2),(ybxybxrryx两根导体之间的电压为U，因此右边的圆的电位为U21，即2)()(ln2)0(220UbRhbRhτ,Rh电磁场习题解答第11页由此可得)21ln(250)21ln(410002ln20h-R-bbh-RU于是2222)()(ln)21ln(250),(ybxybxyxgradExeybxybxybxbxybxbx])][()[(]))[((]))[(({)21ln(25022222222由于两根导线带的异号电荷相互吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。xeybxybxybxbxybxbx])][()[(]))[((]))[(({)21ln(250222222220max)(}])][()[(])[(])[(022222222xyRhxyeeybxybxybxyybxy270C/m10770.1)11()21ln(250bRhbRhxeybxybxybxbxybxbx])][()[(]))[((]))[(({)21ln(250222222220minxyRhxyeeybxybxybxyybxy}])][()[(])[(])[(022222222}])][()[(])[(])[(22222222yeybxybxybxyybxy电磁场习题解答第12页280C/m10867.8)11()21ln(250bRhbRh1—9—4、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a，外球壳半径为b，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳