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南昌大学电子信息工程系周南润49第3章静静电电场场分分析析本本章章学学习习基基本本要要求求掌握静电场的基本方程，深刻理解静电场的基本特性，熟练运用高斯定律求解静电场问题；理解电位的概念和物理意义，掌握电位电位与电场强度的关系，掌握电位的微分方程，会计算点电荷系统和一些连续分布电荷系统的点电位；掌握静电场的三类边值问题，理解唯一性定理；了解电介质极化的物理过程。掌握不同介质分界面上场的边界条件和电位的边界条件；熟悉恒定电场的基本方程和边界条件，能正确分析和求解恒定电场问题，掌握电导的计算方法；掌握电容的概念和计算方法，了解多导体系统中电位系数、电容系数和部分电容的概念；深刻理解静电场能量的概念，掌握其计算公式和方法、能运用虚位移法计算静电力。习题：3.4;3.6;3.9;3.12;3.19;3.30;3.32;3.35目录引言静电场分析的基本变量真空中静电场的基本方程电位函数泊松方程拉普拉斯方程点函数的δ函数表示*格林函数唯一性定理电介质极化极化强度介质中的高斯定律边界条件导体系统的电容电场能量静电力引言静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。静电场知识结构框图静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。南昌大学电子信息工程系周南润503.1静电场的基本变量源量：()ρr标量性质的源场量：()Er、()Dr在导体中可表现为:γ=JE(自由电子在电场作用下形成电流)在介质中可表现为:ε=DE束缚电荷在电场作用下位移。实验得：2()4rqrπ=Dre（点电荷周围）()()ε=DrEr真空中：00()()ε=DrEr3.2真空中静电场的基本方程分析求解静电场的两种方法：积分方程法（通量、环流量）微分方程法（散度、旋度）1.积分方程法（即基本方程积分形式）0ddSqqτ==∑∫∫DSid0ll=∫Ei其中00()()ε=DrEr证明过程如下:(1)高斯定律(式(3.2.1))的证明电通量电力线表示场强的方向，通过垂直于场强的单位面积电力线的数目为电场强度的量值。通过曲面S的电通量可为dSΨ=∫DSi其中0ε=DE称为电通密度。将点电荷q产生的电场强度代入，则在半径r处的电通密度为：2()4rqrπ=DreC/m2曲面法线的正方向：封闭曲面，外法线为正方向。一般曲面，法线正方向与曲面边缘绕向成右手螺旋关系。例如①点电荷q+在坐标原点，S为球面，'S为任意封闭曲面。穿出曲面S的电通量与球面半径无关,即有：22dd44reSSqqqrrππΨ===∫∫eSSi南昌大学电子信息工程系周南润51由于电力线的连续性，则穿出S面和'S的电力线数目是一样的，所以穿出曲面'S的电通量亦为：eqΨ=例如②当点电荷q+在闭曲面''S之外时，穿入''1S的电力线与穿出''2S的电力线数目相同。通过''S的总电通量为0。立体角的概念在半径为R的球面上任取一个面元dS，则此面元可构成一个以球心为顶点的锥体，取dS与2R的比值来定义dS对球心所张的立体角，单位为球面度（Sr）。整个球面对球心所张立体角是4π：2244RRππ=（Sr）一般情况下，锥表面上元面积dS对离它R远的P点所张的立体角为:22dcosdd=rSeSRRθΩ=i从P点看到dS的内侧时，d0Ω；从P点看到dS的外侧时，d0Ω。点电荷的立体角及通量位于原点的一个点电荷穿过面积元dS的通量可写为：002ddddd44reqeqERεππΨ====ΩSDSSiii则通过整个曲面S的通量为：dd44eSSqqππΩΨ=Ψ=Ω=∫∫如果有一闭合曲面S包围点电荷q（即q在闭合面内）时，通过S的通量为：eqΨ=南昌大学电子信息工程系周南润520*4dd44SSqqqπππΨ==Ω==∫∫DSi其中：00ε=DE，204RqeRπε=E。如果有一闭合曲面S不包围点电荷q，12SSS=+（即q在闭合面外时），通过S的通量为：()12120dd04eeSSqπεΨ=Ψ+Ψ=Ω+Ω=∫∫综上两种情况即为：0()d0()Sqqq⎧=⎨⎩∫DSi在闭合面内在闭合面外高斯定律的积分形式当闭合曲面S内有k个点电荷，则通过S的电通量可为：000111dddkkkiiiiiiSSSq===⎛⎞Ψ====⎜⎟⎝⎠∑∑∑∫∫∫DSDSDSiii此时表明：闭合面S上的电通量Ψψ仅与闭合面S内场源电荷的代数和有关。式（3.2.7）可推广到体电荷、面电荷和线电荷的情况。若闭合曲面内电荷是以连续电荷体密度ρ分布时，式（3.2.7）的右边q∑应代以dρτ∫,然后应用散度定理ddSAAττ=∇∫∫Sii得到00dddSDτττρτ=∇=∫∫∫DSii高斯定律的微分形式因闭合面S是任意的，故τ也是任意的，于是可得微分形式的高斯定律：0ρ∇=Di南昌大学电子信息工程系周南润53亦可由静电场的散度公式导出高斯定律的微分形式：点电荷产生的电场为''201()()d4rrErrrrτρτπε−=−∫'''对上式等号两端取散度；利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，即得真空中高斯定律的微分形式：00()()Erρρε∇=→∇='rDii真空中的高斯定律物理意义高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。高斯定律的积分形式亦可写为101dniiSEqε==∑∫Si式中n是闭合面包围的点电荷总数。图闭合曲面的电通量E的通量仅与闭合面S所包围的净电荷有关。图闭合面外的电荷对场的影响S面上的E是由系统中全部电荷产生的。(2)式(3.2.2)证明在点电荷q的电场中任取一条曲线连接A、B两点，如图示。求场变量沿此曲线的线积分：0ρ∇⋅=E0ρ∇⋅=E0ρ∇⋅==E南昌大学电子信息工程系周南润5422000ddd44114BARrRllABelqqRElRRqRRπεπεπε==⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫∫∫ii当积分路径是闭合回路，即A、B两点重合时，得到：此式即为静电场的守恒特性。可以推广到任意电荷分布的电场中。例如：当一试验电荷q在电场中沿闭合路径移动一周时，电场力所做的功为：dd0llqElqEl==∫∫ii即当q移动一周回到出发点时，电场能量既无损失又无增值。说明当场源电荷（q或ρ）变量一定时，电场能量也为一固定值。即电场力作功与路径无关，静电场是保守场。微分形式利用斯托克斯定理，式（3.2.2）可为：dd0CSElES=∇×=∫∫ii由于上式中回路C及其所限定的面积S是任意的，故有：0E∇×=此式表明静电场是无旋场，一定为保守场；保守场也一定是无旋场。由上即得到真空中静电场的基本方程微分形式为：0Dρ∇=i，0E∇×=故真空中静电场的基本方程为0ddSqqτ==∑∫∫DSi0Dρ∇=id0lEl=∫i0E∇×=高斯定律的应用：高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。计算技巧：a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解；b）选择适当的闭合面作为高斯面，使0dS∫DSi容易积分。例求电荷线密度为τ的无限长均匀带电体的电场。解：电场分布特点：D线皆垂直于导线，呈辐射状态；等r处D值相等；取长为L，半径为r的封闭圆柱面为高斯面。由0dSq=∫DSi得122112233ddddSSSS⋅=⋅+⋅+⋅∫∫∫∫DSDSDSDS图1电荷线密度为τ的无限长均匀带电体12DrLLπτ⋅=RBRABAqdlerdRddrelR=id0lEl=∫i南昌大学电子信息工程系周南润5512rrτπ=De，1102rτεπε==r0DEe例3.2.1，例3.2.23.3电位函数1)电位的引出∵0E∇×=根据矢量恒等式0ϕ∇×∇=，∴ϕ=−∇E在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)已知电荷分布，求电位：以点电荷为例推导电位：'3'0()4qrrErrrπε−=⋅−，∵'3''1rrrrrr−∇=−−−，∴'0()()4qErrrrϕπε=−∇=−∇−∴'0()4qrCrrϕπε=+−点电荷群101()4'NiiiqrCϕπε==+−∑rr连续分布电荷'01d()4'vqrCϕπε=+−∫rr电荷元dq：dρτ，dSσ，dllρ3)E与ϕ的微分关系ϕ=−∇E在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：xyzxyzϕϕϕ⎡⎤∂∂∂=−++⎢⎥∂∂∂⎣⎦EeeeE与ϕ的微分关系，试问静电场中的某一点0ϕ=→=E0？（）ϕ=→=E00？（）南昌大学电子信息工程系周南润564）E与ϕ的积分关系dddxyzEllxyzϕϕϕϕϕ=−∇⎡⎤∂∂∂=−++⎢⎥∂∂∂⎣⎦=−eeeii0d()()dPPPPPPϕϕϕ−=−=⋅∫∫El00图E与ϕ的积分关系设0P为参考点()dppϕ=⋅∫El参考点5)电位参考点的选择原则•场中任意两点的电位差与参考点无关。•同一个物理问题，只能选取一个参考点。•选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电位：04qCrϕπε=+0|0rϕ==，C→∞，表达式无意义|0rϕ→∞=，0C=，04qrϕπε=|0rRϕ==，04qCRπε=−，00011444qqqrRrRϕπεπεπε⎛⎞=−=−⎜⎟⎝⎠•电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；•电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。6)等位线（面）•在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即等位线(面)方程:(,,)xyzCϕ=当取不同的C值时，可得到不同的等位线（面）。图1.2.2电偶极子r1r2南昌大学电子信息工程系周南润57例3.3.1求电偶极子的电位()rϕ.（drl）在球坐标系中：210120121144prrqqrrrrϕπεπε⎛⎞−=−=⎜⎟⎝⎠12221cos4drrrdθ⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠12222cos4drrrdθ⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠用二项式展开，又有rd，得1cos2drrθ=−，2cos2drrθ=+，代入上式，得223000cos1444rpqdrrrθϕπεπεπε⎛⎞===⎜⎟⎝⎠PePriiP表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。()302cossin4Prqrθϕθθπε=−∇=+Eee等位线方程（球坐标系）：20cos4pCrθπε=，'cosrCθ=*电力线微分方程（球坐标系）：ddrrrEEθθ=将rE和Eθ代入上式，解得E线方程为sinrDθ=电偶极子的等位线和电力线例2求电荷面密度为σ，半径为R，均匀带电圆盘轴线上的电场强度(0z)。南昌大学电子信息工程系周南润58解：采用柱坐标。在圆盘上取半径为r宽为dr的圆环，其元电荷d(2d)qrrσπ=在轴线上P点所产生的电位222200ddd42rrqrrrzrzσϕπεεεε==++()2222000d22RrrrrRzzrzσσϕεεεε==+−+∫圆盘在P点产生的电场强度220112rzzzrEeeerrrzezzeRzϕϕϕϕϕϕσεε∂∂∂⎡⎤=−∇=−++⎢⎥∂∂∂⎣⎦∂=−∂⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠当R趋于无穷时，02zrEeσεε=此例与例3.3.2相似。例3.3.2,例3.3.3见P47-48。补例：如右图所示，一带正电的点电荷q位于以内半径为a，外半径为b的导体球壳的球心上，求空间各处的电场强度及电位。分析：由系统结构及电荷分布的特点，可以判断出电场分布具有球对称性；电场方向为半径r方向；导体球将空间分成三个区域（rb，bra，ra），下面分别求三个区域内的电场及电位。解：(1)rb，因场分布具有球对称性，可以采用高斯定律对电场求解以球心为圆心，以rb为半径做一封闭积分面，因为导体球壳本身不带电，所以有：1204qErπε=，10d4rqErrϕπε+∞==∫(rb)(2)bra，导体中电场为零，即20E=。210ddd4brrbqEr