高中导数及其应用教案

Page1of32©XuezhiEducationAllRightsReserved教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2012.2.1学科数学年级高三上课时间10:00-12:00课时计划2小时教学目标教学内容中考复习三角形个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析教学重点、难点教学过程导数及其运用知识网络第1讲导数的概念及运算★知识梳理★1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率xy.（3）取极限，得导数f（x0）=0limxxy.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的解析：斜率.；瞬时速度.导数的概念基本初等函数的导数公式导数函数的单调性研究的的的函数的极值与最值研究导数的定义导数的物理及几何意义意义导数的运算导数的四则运算法则及复合函数的导数导数的应用最优化问题计算定积分的的的定积分与微积分的基本定理定积分的应用Page2of32©XuezhiEducationAllRightsReserved3.几种常见函数的导数'c0（c为常数）；()nx1nnx（Rn）；'(sin)x；'(cos)x；(ln)x1x；(log)ax1logaex；'()xexe；'()xalnxaa.解析：cos;sin;xx4.运算法则①求导数的四则运算法则：'()uv''uv；'()uv；'uv(0)v.解析：''uvuv；''2uvuvv②复合函数的求导法则：'(())xfx''()()fux或xuxuyy'''★重难点突破★1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数()2xfx与()3xgx,当[1,2]x时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结:计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量21xxx(2)计算对应函数值的改变量22()()yfxfx(3)计算平均增长率:2121()()fxfxyxxx对于()2xfx,2111223,21yx又对于()3xgx,212233821yx故当[1,2]x时,()gx的平均增长率大于()fx的平均增长率.（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,问题2.已知2)2cos1(xy,则y.点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致Page3of32©XuezhiEducationAllRightsReserved错解为:)2cos1(2sin2xxy.设2uy,xu2cos1,则)2()2sin(2)2cos1(2xxuxuuyyxux)2cos1(2sin42)2sin(2xxxu)2cos1(2sin4xxy.（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3.求322xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。点拨：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y在1x处的函数值；点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。4.4,3212xyxyxy即过点P的切线的斜率为4，故切线为：14xy．设过点Q的切线的切点为),(00yxT，则切线的斜率为04x，又2900xykPQ，故00204262xxx，3,1.06820020xxx。即切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：1512,14xyxy★热点考点题型探析★考点1:导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值[例1]设函数()fx在0x处可导，则xxfxxfx)()(lim000等于A．)('0xfB．0'()fxC．0()fxD．0()fx【解题思路】由定义直接计算[解析]0000000()()[()]()limlim()()xxfxxfxfxxfxfxxx.故选B【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim()xfxxfxfxx考点2.求曲线的切线方程[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数Page4of32©XuezhiEducationAllRightsReserved)(xfy的图象在点P处的切线方程是8xy，则)5()5(ff=.【解题思路】区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上.解析:观察图形,设(5,(5))Pf,过P点的切线方程为(5)'(5)(5)yffx即'(5)(5)5'(5)yfxff它与8xy重合,比较系数知:'(5)1,(5)3ff故)5()5(ff=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．题型3.求计算连续函数()yfx在点0xx处的瞬时变化率[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数()yfx在点0xx处的瞬时变化率实际上就是()yfx在点0xx处的导数.解析：加速度v=tttststt22005)5(lim)5()5(lim0limt(10+Δt)=10m/s.∴加速度v=2t=2×5=10m/s.【名师指引】计算连续函数()yfx在点0xx处的瞬时变化率的基本步骤是1.计算00()()fxxfxyxx2.计算0limxyx【新题导练】.1.曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.解析：曲线xy1和2xy在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是43.点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2.某质点的运动方程是2)12(ttS，则在t=1s时的瞬时速度为（）A．－1B．－3C．7D．13解:B点拨:计算0limx(1)(1)sststt即可Page5of32©XuezhiEducationAllRightsReserved3.已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12①对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4②∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点2导数的运算题型1:求导运算[例1]求下列函数的导数：（1）cosxyex（2）2tanyxx（3）ln(1)yx【解题思路】按运算法则进行[解析]（1）'''cos,cos(cos)cossinxxxxxyexyexexexex（2）2'2'2'2sincossin(sin)tan,()2coscosxxxxyxxyxxxx212cosxx（3）''11(1)11yxxx【名师指引】注意复合函数的求导方法（分解求导回代）；注意问题的变通：如xxey的导数容易求错，但xexy的导数不易求错.题型2:求导运算后求切线方程例2.(广州市2008届二月月考)已知函数).(3232)(23Rxxaxxxf（1）若1a，点P为曲线)(xfy上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数),0()(在xfy上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为k，则1)1(2342)(22xxxxfk又35)1(f，所以所求切线的方程为：135xy即.0233yx【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.与曲线21yxe相切于P(,)ee处的切线方程是（D）A．2yexB．2yexC．2yxeD．2yxe题型3:求导运算后的小应用题例3.某市在一次降雨过程中,降雨量()ymm与时间(min)t的函数关系可近似地表示为Page6of32©XuezhiEducationAllRightsReserved()10yftt,则在时刻40mint的降雨强度为()A.20mmB.400mmC.1/min2mmD.1/min4mm【解题思路】先对t的求导,再代t的数值.解析:1551'()10,'(40)421010400ftftt选D【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.【新题导练】.4.设函数()()(2)(3)fxxxkxkxk，且(0)6f，则kA．0B．-1C．3D．-6思路分析:按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k的方程求解.解:'()()(2)(3)fxxkxkxk+(2)(3)xxkxk+()(3)xxkxk+()(2)xxkxk故3'(0)6fk又(0)6f,故1k5.设函数()()()()fxxaxbxc，（a、b、c是两两不等的常数），则)()()(cfcbfbafa．解析:'()()()()()()()fxxaxbxbxcxcxa代入即得0..6.质量为10kg的物体按2()34sttt的规律作直线运动,动能212Emv,则物体在运动4s后的动能是解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J基础巩固训练1.(广东省六校2009届高三第二次联考试卷)()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是．解析:2'()2fxx故(1)f=32.(广东省2008届六校第二次联考)cosyxx在3x处的导数值是___________.解析：'cossinyxxx故填13263.已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为.Page7of32©XuezhiEducationAllRightsReserved解析：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上∴y=－2x,∴y′=－x1,∵kAB=－21,∴－211x∴x=4,代入y2=4x(y0)得y=－4.∴P(4,－4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知()lnfxx，217()22gxxmx（0m），直线l与函数()fx、()gx的图像都相切，且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1．求直线l的方程及m的