《一元一次不等式与一次函数的关系》导学案设计

《一元一次不等式与一次函数的关系》导学案设计山西省交口县教育体育科技局教研室李雅妮学习内容：新人教版数学八年级上册第十四章第三节第一课时学习目标：１.通过作图和观察，从“形”的角度了解一次方程（组）、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系；掌握用函数图象法解一元一次不等式或一元一次不等式组的方法。２.经历构建函数解析式的数学建模过程，探究解题思路，提高自己灵活应用数学知识解决实际问题的能力。３.经历自主研究方程、不等式、函数三者关系的过程，逐步形成化归、数形结合等重要数学思想，提高自己的数学思维品质。学习重点：掌握用图象法解一次不等式（组）的方法学习难点：方程、不等式和函数之间关系的正确理解及灵活应用导学过程：一、课前预习温故知新1.一次函数y=x+1的图象是一条，它与x轴的交点坐标是，当y=3时，所对应的x的值是；当x=3时，y=。【思考】你是用什么方法得到上述答案的？2.请你画出函数y=2x-5的图像，观察图像并回答下列问题：①x取何值时，y=0？【点拨】y=0时所对应的x的值，即是图像与x轴的交点的横坐标。②x取何值时，y＞0？【点拨】y＞0时，图象在x轴的方，图象上每一点所对应的x的值都满足条件，且都在图象与x轴交点的侧，所以对应的x的取值范围是。③x取何值时，y＜0？【回答】y＜0时，图象在x轴的方，图象上每一点所对应的x的值都满足条件，且都在图象与x轴交点的侧，所以对应的x的取值范围是。④x取何值时，y=3？y＜3？y＞3？【模拟设问】y=3表示的是一条经过（）且与x轴的直线，y=3时。y＜3时。y＞3时。【设计意图】面向全体，多设台阶，降低难度，形成“形”“数”互化意识，为以下自主探究打好基础。其中的第④问是为研究两个函数之间的关系做铺垫。【思考】你能否将上述“关于函数的问题”转化为“关于x的方程或不等式的问题”？【点拨】因为y=2x-5，所以可以将问题中的y用来代替，将问题转化为：①x取何值时，=0？②x取何值时，＜0？③x取何值时，＜0？④x取何值时，=3？＜3？＞3？【反思】原题“关于一次函数自变量的取值问题”可以变成“关于解x的和的问题”，完成了从到的转化，达到了化未知为已知的目的。更主要的是把“形”的问题转化成了的问题来研究，使结果更加。二、展示交流深入探究【思考】通过上述预习，你能说出一元一次不等式（方程）和一次函数之间的联系吗？（请先在小组内交流讨论，每组推荐一名代表发言。）【点拨】反过来，你能否将“一元一次不等式问题”转化为“一次函数问题”来加以解决呢？【设计意图】集思广益，理清知识脉络；明确内在联系，形成解题思路。【技能训练】1、如果y=﹣2x-5，那么当x取何值时，y＞0？（解答此题，你有几种方法？）【点拨】①将函数问题转化为不等式问题，即要直接解不等式。②将此函数求值问题“形化”，与它的图象联系起来，即转化为。③你能用“图象法”解不等式﹣2x-5＞0吗？（和同桌说说你的解题思路）【归纳】从以上探究我们知道，运用函数图象来解不等式，首先要运用解不等式来研究函数问题，就是要，两者可以互相转化。但都有一定的局限性：，在研究问题时可以互相补充。【设计意图】用不同解法去体验不等式、函数、方程之间的密切联系，明白它们是从不同角度刻画同一运动变化过程中两个变量之间的对应关系的数学模型，是一个无法截然割裂的有机整体。为内化知识，形成技能做准备。１.已知：y1=3，y2=－x+3，当x取何值时，y1＞y2？２.已知：y1=－x+3，y2=3x－4当x取何值时，y1＞y2？当x取何值时，y1＜y2？（请你在2、3题中任选一题用一种方法完成。）（完成后在组内交流，看共有几种不同解法，推荐代表在黑板上展示）３.你能用几种不同方法解不等式5x+63x+10？【设计意图】环环相扣，一步一台阶，层层深入；关注差异，分层要求。三、当堂训练学以致用例：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：①何时弟弟跑在哥哥前面？②何时哥哥跑在弟弟前面？③谁先跑过20m？谁先跑过100m？④你是怎样求解的？与同伴交流。【点拨】如果设哥哥跑了的时间为x（s），则哥哥与弟弟各自所跑的距离y（m）与时间x（s）之间的关系式分别是，。【设计意图】分散难点，引导学生完成数学建模，将实际问题转化为数学问题。【讨论】在研究两个函数之间的数量关系时，如何才能做到“形”与“数”的有机结合？【小结】关键是：。难点是：。方法是：。要注意的问题是：。【设计意图】养成反思习惯，交流突破难点的策略，提高解决问题能力。四、自我检测查漏补缺1.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，观察图象并回答①x为何值时，2x－4＞0②x为何值时，－2x+8＞0③x为何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？④你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程。2.某种肥皂零售价每块2元，如果购买2块以上（包括2块），商场将实行两种优惠方案：①其中一块肥皂按原价的7折销售，其余按原价；②所买肥皂全部按原价的8折销售。那么购买多少块肥皂的情况下，第一种方案比较合算呢？五、总结归纳反思提高1.本节课我最大的收获是。2.我未解决的问题还有。3.我还想知道的是。【设计意图】整理巩固、互通有无、发现问题、升华思维、反馈学情。六、课后作业拓展延伸1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？2.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.①分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；②根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？设计思想:采取学案引导，自主探究、合作交流为主的学习方式，关注学生自学能力培养；分散难点，突出重点，融知识技能于实际问题情境，迁移渗透数学思想方法，关注学生数学思维能力培养；巧降难度多铺台阶，多元标准分层评价，激发学生探究问题的兴趣，关注学生个性发展的需求。