高三数学函数的奇偶性与周期性

第1页第二章第3讲第3讲函数的奇偶性与周期性第2页第二章第3讲不同寻常的一本书，不可不读哟！第3页第二章第3讲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.第4页第二章第3讲1个重要规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2种必会方法1.定义法：先求出定义域①关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系得结论；②不关于原点对称，则不具有奇偶性．第5页第二章第3讲2.图象法：首先作出f(x)的图象①关于原点对称，f(x)为奇函数；②关于y轴对称，f(x)为偶函数；③既不关于原点，也不关于y轴对称，不具有奇偶性．3个必记结论1.若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2a.第6页第二章第3讲2.若f(x＋a)＝1fx，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1fx＋a＝f(x)，所以f(x)周期T＝2a.3.若f(x＋a)＝－1fx，同理由递推法可得2a是函数的一个周期.第7页第二章第3讲课前自主导学第8页第二章第3讲1.函数的奇偶性奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有________，那么函数f(x)是偶函数都有________，那么函数f(x)是奇函数图象特点关于______对称关于______轴对称第9页第二章第3讲奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？第10页第二章第3讲(1)下列函数中，所有奇函数的序号是________．①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x；③f(x)＝x2＋1x；④f(x)＝x3＋1；⑤y＝x＋1x.(2)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值________．第11页第二章第3讲2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________，那么这个________就叫做它的最小正周期．第12页第二章第3讲(1)已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为________．(2)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.第13页第二章第3讲1.f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点y想一想：提示：定义域关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．填一填：(1)②③⑤第14页第二章第3讲(2)13提示：a－1＋2a＝0，∴a＝13，又f(－1)＝f(1)，得b＝0，∴a＋b＝13.2.f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小的正数填一填：(1)1(2)－1第15页第二章第3讲核心要点研究第16页第二章第3讲例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－1x；(2)f(x)＝x2－x3；(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1)；(4)y＝2x－1＋1－2x；第17页第二章第3讲(5)f(x)＝x2＋2x00x＝0－x2－2x0；(6)f(x)＝lg1－x2|x2－2|－2.第18页第二章第3讲[审题视点]先求出函数的定义域，若定义域关于原点对称，再根据定义研究f(－x)与f(x)的关系，必要时需对解析式进行化简，分段函数则要分段判断．[解](1)定义域是{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3－1－x＝－x3＋1x＝－f(x)，故f(x)是奇函数．第19页第二章第3讲(2)定义域是R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，因此f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，故f(x)是非奇非偶函数．(3)定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)＝log21x＋x2＋1＝－log2(x＋x2＋1)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．第20页第二章第3讲(4)由2x－1≥01－2x≥0得函数定义域为{12}，不关于原点对称，函数是非奇非偶函数．(5)当x0时，－x0，f(x)＝x2＋2，f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－f(x)；当x0时，－x0，f(x)＝－x2－2，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－f(x)；当x＝0时，f(－x)＝0＝－f(x)，所以对x∈R，均有f(－x)＝－f(x)，函数是奇函数．第21页第二章第3讲(6)由1－x20|x2－2|≠2可得－1x1且x≠0，定义域关于原点对称，这时f(x)＝lg1－x2|x2－2|－2＝lg1－x22－x2－2＝－lg1－x2x2，f(－x)＝－lg1－x2x2＝f(x)，故函数是偶函数．第22页第二章第3讲(1)判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(2)分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．(3)在分析f(－x)与f(x)的关系时，经常需要对f(x)的解析式进行等价变形．第23页第二章第3讲[变式探究][2012·上海高考]已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.解：设h(x)＝f(x)＋x2为奇函数，则h(－x)＝f(－x)＋x2，∴h(－x)＝－h(x)，∴f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，∴f(－1)＋1＝－f(1)－1，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.第24页第二章第3讲例2[2012·天津高考]下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A.y＝cos2x，x∈RB.y＝log2|x|，x∈R且x≠0C.y＝ex－e－x2，x∈RD.y＝x3＋1，x∈R第25页第二章第3讲[审题视点]分析四个函数在(1,2)上不具有单调性，或为奇函数、非奇非偶函数的情况，利用排除法求解．[解析]由函数是偶函数可以排除C和D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y＝log2|x|＝log2x为增函数，所以选择B.[答案]B第26页第二章第3讲奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．第27页第二章第3讲[变式探究]已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不相等的实数x1、x2，不等式(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0恒成立，则不等式f(1－x)0的解集为()A.(0,3)B.(3，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案：C第28页第二章第3讲解析：∵f(x＋1)是定义在R上的奇函数，关于(0,0)对称，向右平移1个单位得到f(x)的图象，关于(1,0)对称，即f(1)＝0，又∵任取x1，x2∈R，x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，∴f(x)在R上单调递减．∵f(1－x)0＝f(1)，∴1－x1，∴x0，∴不等式f(1－x)0的解集为(－∞，0).第29页第二章第3讲例3[2012·山东高考]定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A.335B.338C.1678D.2012第30页第二章第3讲[审题视点]用赋值法求出多个函数值，发现其规律，再利用周期性进行化简求值．[解析]由f(x＋6)＝f(x)得f(x)的周期为6，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝335[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)，而f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝338，故选B.[答案]B第31页第二章第3讲奇思妙想：本例条件不变的情况下，求使f(x)＝1在[0,2013]上的所有x的个数，若f(x)＝－1，结果又如何呢？解：当x＝1时f(x)＝1，∵f(x)是以6为周期的函数，∴f(x)＝1的所有解为x＝6n＋1(n∈Z)，令0≤6n＋1≤2013，∴－16≤n≤33523，又∵n∈Z，∴0≤n≤335(n∈Z)．第32页第二章第3讲∴在[0,2013]上共有336个x使f(x)＝1.当f(x)＝－1时，每个周期有2个解，∵2013＝335×6＋3.∴x解的个数为335×2＋1＝671个(f(x)＝－1在最后半个周期有一个解)．第33页第二章第3讲(1)关于周期性常见结论f(x＋a)＝－f(x)，T＝2a；f(x＋a)＝1fx，T＝2a，f(x＋m)＝f(x＋n)，T＝|m－n|.(2)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．第34页第二章第3讲[变式探究][2013·九江模考]已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)在区间[0,6]上的图象与x轴的交点个数为()A.6B.7C.8D.9答案：B第35页第二章第3讲解析：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点即为y＝f(x)的零点，先在区间[0,2)上讨论，令f(x)＝0，即x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1(x＝－1舍去)．又函数f(x)在R上以2为周期，则当x＝2，x＝4，x＝6或x＝3，x＝5时也有f(x)＝0，即在区间[0,6]上f(x)的图象与x轴的交点个数为7.函数图象如下．第36页第二章第3讲例4[2013·大同模拟]已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.[审题视点]根据已知条件分析函数f(x)在[－8,8]的单调性，对称性，画出图象进行求解．第37页第二章第3讲[解析]∵f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，∴y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数，∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的示意图象，第38页第二章第3讲其图象也关于x＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.[答案]－8第39页第二章第3讲有关抽象函数涉及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质时，可考虑结合函数的图象特征，运用数形结合的思想方法求解．第40页第二章第3讲[变式探究][2013·海南模拟]设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－1fx，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝()A.10B.110C.－10D.－110第41页第二章第3讲答案：B解析：因为f(x＋3)＝－1fx，故有f(