高三数学压轴题-立体几何(含详解)

1精华——立体几何1.将两块三角板按图甲方式拼好，其中90BD，30ACD，45ACB，2AC，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影恰好在AB上，如图乙．(1)求证：AD平面BDC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)求二面角DACB的大小；(3)求异面直线AC与BD所成角的大小．2.如图，在正三棱柱111CBAABC中，各棱长都等于a，D、E分别是1AC、1BB的中点，（1）求证：DE是异面直线1AC与1BB的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角CACE1的大小；（3）求点1C到平面AEC的距离．3.如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H．（1）求二面角BEF1的正切值；（2）试在棱BB1上找一点M，使MD1平面1EFB，并证明你的结论；（3）求点1D到平面1EFB的距离．24.如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是直角三角形，AC⊥CB，∠ABC=45°，侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E、F分别是AB1、BC的中点.（1）求证EF//平面A1ACC1；（2）求EF与侧面A1ABB1所成的角；（3）求三棱锥A—BCE的体积.5.已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点。（I）求证：DE∥平面ABC；（II）求证：B1F⊥平面AEF；（III）求二面角B1—AE—F的大小（用反三角函数表示）。6.在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=a2，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。（Ⅰ）求证：四边形EFCD为直角梯形；（Ⅱ）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；（Ⅲ）设SB的中点为M，当ABCD的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明。ABCDSEFM37.如图，已知正四棱柱ABCDABCD1111的底面边长为3，侧棱长为4，连结AB1，过A作AFAB1，垂足为F，且AF的延长线交BB1于E。（I）求证：DB1平面AEC（II）求三棱锥BAEC的体积（III）求二面角BAEC的正切值。8.如图．已知斜三棱柱ABC-111CBA的各棱长均为2，侧棱1BB与底面ABC所成角为3π，且侧面11AABB垂直于底面ABC．（1）求证：点1B在平面ABC上的射影为AB的中点；（2）求二面角C-1AB-B的大小；（3）判断CB1与AC1是否垂直，并证明你的结论．9.如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．（1）求cos（BE，DE）；（2）记面BCV为，面DCV为，若∠BED是二面角VC-的平面角，求∠BED．410.已知长方体ABCD-1111DCBA中，棱AB＝BC＝3，1BB＝4，连结CB1，过B点作CB1的垂线交1CC于E，交CB1于F．（1）求证：CA1⊥平面EBD；（2）求ED与平面CBA11所成角的大小；（3）求二面角E-BD-C的大小．11.如图，在正方体ABCD-1111DCBA中，E、F分别是1BB，CD的中点．（1）证明：AD⊥FD1；（2）求AE与FD1所成的角；（3）证明：面AED⊥面11FDA；（4）设1AA＝2，求三棱锥F-11EDA的体积11EDAFV．12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1上一点，平面B1CE⊥平面BCE，AB=BC=1，AA1=2。（1）求平面B1CE与平面B1BE所成二面角的大小；（文科只要求求tan）（2）求点A到平面B1CE的距离。513.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为1，高为h(h3)，点M在侧棱BB1上移动，到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC1所成的角为α；（Ⅰ）（本问6分）若α在区间]4,6[上变化，求x的变化范围；（Ⅱ）（本问6分）若BCAM与求为,6所成的角.14.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，DP与AE夹角的余弦值为33．（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；（2）在平面PAD内求一点F，使EF平面PCB．15.如图所示，已知直三棱柱111CBAABC中，ACB＝90o，侧面1AB与侧面1AC所成的二面角为60°，M为1AA上的点，11MCA30°，1CMC90°，aAB．（1）求BM与侧面1AC所成角的正切值；（2）求顶点A到面1BMC的距离．616.如图，斜三棱柱111CBAABC，已知侧面CCBB11与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠160BBC，1BBBC=2，若二面角CBBA1为30°，（Ⅰ）证明CCBBAC11平面；（Ⅱ）求1AB与平面CCBB11所成角的正切值；（Ⅲ）在平面BBAA11内找一点P，使三棱锥CBBP1为正三棱锥，并求P到平面CBB1距离17.已知平行六面体1111DCBAABCD的底面为正方形，oo,1分别为上、下底面的中心，且1A在底面ABCD的射影是o。（I）求证：平面DCo1平面ABCD（II）若点FE,分别在棱上BCAA,1上，且12EAAE，问点F在何处时，ADEF（III）若601ABA，求二面角BAAC1的大小（用反三角函数表示）ABC111ACB7答案：1.（1）设D在AB的射影为O，则DO平面ABC，DOBC，又BCBA，BC平面ADBBCAD，又ADCD，AD平面BDC（2）由（1）ADBD，又1,2ADAB，1BDO为AB中点以OB为x轴，OD为z轴，过O且与BC平行的直线为y轴建系，则2222(,0,0),(,0,0),(,2,0),(0,0,)2222ABCD设1(,,)nxyz为平面ACD的法向量，由110,0nACnAD，可得1(1,1,1)n易知2(0,0,1)n为平面ABC的法向量，1212123cos,3nnnnnn所以所求二面角为3cos3arc（3）1cos,2ACADACADACAD，所以所求角为602.（1）取AC中点F，连接DF．因为D是1AC的中点，所以DF∥1CC，且121CCDF．又11//CCBB，E是1BB的中点，所以DF∥BE，DF＝BE，所以四边形BEDF是平行四边形，所以DE∥BF，DE＝BF．因为1BB⊥面ABC，BF面ABC，所以1BB⊥BF．又因为F是AC的中点，△ABC是正三角形，所以BF⊥AC，aBF23．因为1BB⊥BF，1BB∥1CC，所以BF⊥1CC，所以BF⊥面11AACC，又因为1AC面11AACC，所以BF⊥1AC，因为DE∥BF，所以DE⊥1AC，DE⊥1BB，所以DE是异面直线1AC与1BB的公垂线段，且aDE23．（2）因为11//CCBB，DE⊥1BB，所以DE⊥1CC，又因为DE⊥1AC，所以DE⊥面11AACC．又DE面1AEC，所以面1AEC⊥面1ACC，所以二面角CACE1的大小为90°．（3）连接CE，则三棱锥1CECA的底面面积为221aSCEC，高ah23．所以32123232311aaaVCECA．在三棱锥AECC1中，底面△AEC中，aCEAE25，则其高为a，所以22aSAEC．设点1C到平面AEC的距离为d，由AECCCECAVV11得32123231aad，所以ad23，即点1C到平面AEC的距离为a233.（1）连AC，HB1，则EF∥AC，因为AC⊥BD，所以BD⊥EF．因为BB1⊥平面ABCD，所以HB1⊥EF，所以∠HBB1为二面角BEFB1的平面角．在Rt△BHB1中，aBB1，aBH42．所以22tan11BHBBHBB．（2）在棱BB1上取中点M，连MD1，因为EF⊥平面11BDDB，所以EF⊥MD1．在正方形CCBB11中，因为M，F分别为1BB，BC的中点，所以FB1⊥MC1．又因为11CD⊥平面11BBCC，所以FB1⊥11CD，所以FB1⊥MD1，所以MD1⊥平面1EFB．（3）设MD1与平面1EFB交于点N，则ND1为点1D到平面1EFB的距离．在Rt△11DMB中，MDNDBD11211．因为aBD211，aMD231，所以aMDBDND3412111，故点1D到平面1EFB的距离为a344.（1）∵A1ABB1是菱形，E是AB1中点，∴E是A1B中点，连A1C∵F是BC中点，∴EF∥A1C8∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴EF//平面A1ACC1（2）作FG⊥AB交AB于G，连EG∵侧面A1ABB1⊥平面ABC且交线是AB∴FG⊥平面A1ABB1，∴∠FEG是EF与平面A1ABB1所成的角由AB=a，AC⊥BC，∠ABC=45°，得BGaFBFG422由AA1=AB=a，∠A1AB=60°，得aEG4330,33tanFEGFEG（3）VA—BCE=VE—ABC由②EG⊥AB，平面A1ABB1⊥平面ABC，∴EG⊥平面ABC48321313aEGBCACVABCE5.解法一：（I）连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线于点P，连接BP。由E为C1C的中点，A1C1∥CP可证A1E＝EP∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP又∵BP平面ABC，DE平面ABC，∴DE∥平面ABC4分（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，由三垂线定理可证B1F⊥AF设AB＝A1A＝a则BFaEFaBEa12222122323494，，∴BFEFBEBFFE122121，∴⊥∵AFFEFBFAEF，∴⊥平面19分（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE∴∠B1MF为二面角B1—AE—F的平面角C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂线定理可证EF⊥AF在Rt△AEF中，可求FMa3010在Rt△B1FM中，∠B1FM＝90°，∴tan∠BMFBFFM115∴∠BMF15arctan∴二面角B1—AE—F的大小为arctan514分解法二：如图建立空间直角坐标系O—xyz令AB＝AA1＝4，则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4）2分（I）同解法一6分（II）BFEF1224222()()，，，，，AF()220，，BFEF12222420·×××()()()()9∴BFEFBFEF11⊥，∴⊥BFAF12222400·×××()()∴BFAFBFAF11⊥，∴⊥∵AFFEFBFAEF，∴⊥平面110分（III）（★有个别学生按超出课本要求的方法求解，按此标准给分）平面AEF的法向量为BF1224()，，，设平面B1AE的法向量为nxyznAEnBA()，，，∴··001即200yzxz令x＝2，则zyn21212，，∴，，()∴cos||||nBFnBFnBF，··×111692466∴二面角B1—AE—F的大小为arccos666.（Ⅰ）∵CD∥AB，AB平面SAB∴CD∥平面SAB面EFCD∩面SAB=EF，∴CD∥EF∵,,900ADCDD又SD面ABCD∴CDSDCD平面SAD，∴EDCD又CDABEFEFCD为直角梯形（Ⅱ）CD平面EFSAD,∥EFCD,平面SADAEDE