高三数学总复习二轮专题2函数、导数及其应用知识归纳(6547414)

•专题知识归纳•一、函数的图像与性质•1．根据函数的概念可以知道：(1)函数图像与任意一条与x轴垂直的直线至多有一个公共点，但与任意一条与y轴垂直的直线的公共点可能没有，也可能有任意个；(2)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像．•2．函数的表示方法：解析法、图像法和列表法．当一个函数在定义域的不同区间上具有不同的对应关系时，在不同的定义域区间上的函数解析式也不同，就要用分段函数来表示．分段函数是一个函数．•3．函数的三要素：对应关系、定义域、值域．实际上只要对应关系和定义域确定了，函数的值域也就确定了，决定函数的是对应关系和定义域．•4．函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，当函数在其定义域的两个或几个区间上为增函数时在这些区间的并集上不一定单调．•5．单调性与奇偶性的关系：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同：偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．•6．偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称；函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，即对定义域内的任意自变量都成立的性质，这个任意性是我们解题的主要依据之一．在处理有关问题时，常用到以下几个结论：•①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数；④两个偶函数的积是偶函数；⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．•7．几个注意事项及简单结论：•(1)确定函数的奇偶性，务必先判定函数的定义域是否关于原点对称；•(2)对于偶函数而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；•(3)若奇函数的定义域中有0，则必有f(0)＝0，但f(0)＝0是f(x)为奇函数的必要非充分条件．二、指数函数、对数函数与幂函数1．解决指数与对数的有关运算问题时，注意指数式与对数式之间的相互关系与转化，注意对数的一些运算法则和性质的应用，例如：当a0且a≠1，b0且b≠1，m0，n0时，logamn＝logam＋logan，logamn＝logam－logan，logamn＝nlogam，alogan＝n，logam＝logbmlogba，logab·logba＝1，logaan＝n，logab＝1logba，logambn＝nmlogab，log1ab＝loga1b.•2．注意对数式的符号规律：logab0(a0，a≠1，b0)⇔(a－1)(b－1)0；•logab0(a0，a≠1，b0)⇔(a－1)(b－1)0，这一规律在解题中非常有用，应熟练掌握．•3．指数函数与对数函数的图像与性质：指数函数与对数函数互为反函数，其图像关于直线y＝x对称.指数函数y＝ax对数函数y＝logax定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性a1时为增函数，0a1时为减函数a1时为增函数，0a1时为减函数奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数图像特征图像始终在x轴上方图像始终在y轴右侧•3.指数方程、对数方程的解法•①形如af(x)＝ag(x)(a0，a≠1)的方程，化成f(x)＝g(x)求解．•②形如F(ax)＝0(a0，a≠1)的方程，用换元法求解．•③形如af(x)＝b(a0，a≠1)的方程，化成f(x)＝logab求解．④形如logaf(x)＝logag(x)(a0，a≠1)的方程，化成fx0fx＝gx求解．⑤形如F(logax)＝0(a0，a≠1)的方程，用换元法求解．⑥形如logf(x)g(x)＝m的方程，化为(f(x))m＝g(x)(f(x)0，f(x)≠1，g(x)0)求解．•4．指数函数与对数函数的图像与底数的关系•(1)作直线x＝1与指数函数的图像相交，交点自上而下，对应的函数的底数由大变小．•(2)作直线y＝1与对数函数的图像相交，交点自左向右，对应的函数的底数由小变大．•5．需要注意的几个问题•(1)利用指数函数与对数函数的性质比较大小•①底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．•②底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图像进行比较．•(2)指数式与对数式的变形、运算、互化、求值是研究指数、对数类型的函数方程、不等式的基础；指数函数、对数函数的性质(定义域、值域、单调性等)和图像是解决此类问题的关键．•(3)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．•(4)合理运用幂的运算法则和对数的运算法则，注意法则成立的条件．•三、函数与方程及函数的应用•1．函数零点(方程的根)的确定问题，常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．•2．函数零点(方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．•四、导数及其应用•1．在(a，b)上f′(x)0是y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条件．•2．f′(x0)＝0不是y＝f(x)在x＝x0处取到极值的充分条件，也非必要条件．•3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值，只需求在(a，b)内使f′(x)＝0处的函数值以及端点x＝a和x＝b处的函数值．•4．讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．•5．求实际问题中的最值•在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值进行比较，即可断定该极值即为最值．